תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

פתרונות

1. $9x^2-2x+6$ — לפי כלל המכפלה: $3(x^2+2)+(3x-1)(2x)=3x^2+6+6x^2-2x=9x^2-2x+6$.
2. $1$ — $f'(x)=2x-3$, $f'(2)=1$. (אכן המשיק $y=x-4$ חותך את ציר $y$ ב-$-4$.)
3. אף אחת — $f'(x)=3x^2+3>0$ לכל $x$, לכן הפונקציה עולה תמיד ואין נקודות קיצון.
4. $x=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$ — $f'(x)=12x^2-9=0$ נותן $x^2=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$, ולכן $x=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.
5. $2(x^2+x+1)(2x+1)$ — כלל השרשרת: $2(x^2+x+1)\cdot(2x+1)$.
6. $1$ — מינימום ב-$x=3$: $f(3)=27-54+27+1=1$.
7. $\frac{1}{\sqrt{2x-5}}$ — כלל השרשרת: $\frac{1}{2\sqrt{2x-5}}\cdot 2=\frac{1}{\sqrt{2x-5}}$.
8. $y=3x-1$ — $f'(x)=2x+1$, $f'(1)=3$. הנקודה $(1,2)$. המשיק: $y-2=3(x-1)$, כלומר $y=3x-1$.
9. $y=-x+2$ — $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$, $f'(1)=-1$. הנקודה $(1,1)$. המשיק: $y-1=-1(x-1)$, כלומר $y=-x+2$.
10. $-2x^{-3}$ — לפי כלל החזקה $(x^{-2})'=-2x^{-3}$.
11. מקסימום מקומי — הנגזרת מחליפה מחיובי לשלילי, כלומר הפונקציה עולה ואז יורדת — מקסימום מקומי.
12. $1<x<3$ — $f'(x)=3(x-1)(x-3)<0$ בין השורשים, כלומר $1<x<3$.
13. $x=1,\ x=-1$ — $x^2-1=(x-1)(x+1)=0$ ב-$x=\pm 1$, והמונה $x^2+1$ אינו מתאפס שם, לכן שתי אסימפטוטות אנכיות.
14. אף אחת — $f'(x)=x^2+1>0$ תמיד, לכן $f$ עולה תמיד ואין נקודות קיצון.
15. $2x^3-2x$ — נגזרת $\frac{1}{2}x^4$ היא $2x^3$, ונגזרת $-x^2$ היא $-2x$, לכן $f'(x)=2x^3-2x$.
16. $2(x-3)+4x^3$ — $D(x)=(x-3)^2+(x^2)^2=(x-3)^2+x^4$. הנגזרת: $2(x-3)+4x^3$.
17. $0$ — נגזרת של פונקציה קבועה שווה תמיד $0$.
18. $-16$ — מינימום ב-$x=2$: $f(2)=8-24=-16$.
19. $\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2}x^{-3/2}$ — $f(x)=x^{1/2}+x^{-1/2}$, ולכן $f'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}-\frac{1}{2}x^{-3/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2}x^{-3/2}$.
20. $2$ (מקסימום ב-$x=0$) — $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$. מקסימום ב-$x=0$: $f(0)=2$. מינימום ב-$x=2$: $f(2)=8-12+2=-2$. הגדול הוא $2$.
21. $x=20$ — $P'(x)=-2x+40=0$ נותן $x=20$. מקדם שלילי — מקסימום.
22. $y=0$ — מעלת המכנה גדולה ממעלת המונה, ולכן כאשר $x\to\pm\infty$ הביטוי שואף ל-$0$. האסימפטוטה $y=0$.
23. $\frac{-2}{(2x-1)^2}$ — $f(x)=(2x-1)^{-1}$. כלל השרשרת: $-(2x-1)^{-2}\cdot 2=\frac{-2}{(2x-1)^2}$.
24. $(0,1)$ — $f''(x)=6x=0$ נותן $x=0$. $f(0)=1$, לכן נקודת הפיתול $(0,1)$.
25. $-\frac{1}{x^2}$ — $\frac{1}{x}=x^{-1}$, ולכן הנגזרת $-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$.
26. מינימום — $f'$ עולה דרך אפס ב-$x=3$: שלילי לפני, חיובי אחרי. ירידה ואז עלייה — מינימום.
27. $y=3x+2$ — $f'(x)=3x^2$, $f'(-1)=3$. הנקודה $(-1,-1)$. המשיק: $y-(-1)=3(x-(-1))$, כלומר $y=3x+2$.
28. מינימום ב-$x=0$, מקסימום ב-$x=2$ — $f(x)=3x^2-x^3$, $f'(x)=6x-3x^2=3x(2-x)=0$ נותן $x=0,2$. $f''(x)=6-6x$: $f''(0)=6>0$ מינימום, $f''(2)=-6<0$ מקסימום.
29. $y=0$ — מעלת המכנה גדולה ממעלת המונה, לכן $x\to\pm\infty$ נותן $f\to 0$. אסימפטוטה $y=0$.
30. $3x^2+2x$ — לפי כלל המכפלה: $2x\cdot(x+1)+x^2\cdot 1=2x^2+2x+x^2=3x^2+2x$.
31. מקסימום ב-$x=-1$, מינימום ב-$x=1$ — $f'(x)=3x^2-3=0$ נותן $x=\pm 1$. $f''(x)=6x$: $f''(-1)=-6<0$ מקסימום, $f''(1)=6>0$ מינימום.
32. $3x^2-4x+1$ — לפי כלל המכפלה: $2x(x-2)+(x^2+1)\cdot 1=2x^2-4x+x^2+1=3x^2-4x+1$.
33. $-6(5-2x)^2$ — כלל השרשרת: $3(5-2x)^2\cdot(-2)=-6(5-2x)^2$.
34. $y=-x$ — $f'(x)=3x^2-1$, $f'(0)=-1$. הנקודה $(0,0)$. המשיק: $y=-x$.
35. $x=\sqrt{50}$ — $P'=2-\frac{100}{x^2}=0$ נותן $x^2=50$, כלומר $x=\sqrt{50}$ (המלבן הוא ריבוע).