נוער מוכשר מתמטיקה בר-אילן — הכנה ותרגול (כיתה ו'-ז')

פתרונות

1. 2 — נסמן ספרי היסטוריה = h, ספרי מדע = m. h + m = 7 ו-90h + 60m = 480. מהמשוואה הראשונה: m = 7 − h. מציבים: 90h + 60(7−h) = 480 → 90h + 420 − 60h = 480 → 30h = 60 → h = 2.
2. 6 — 4 ÷ 2/3 = 4 × 3/2 = 12/2 = 6.
3. 2300 ש״ח — 2000 × 1.15 = 2300 ש״ח.
4. 160 סמ״ק — נפח תיבה = אורך × רוחב × גובה = 8 × 5 × 4 = 160 סמ״ק.
5. 80 מ״ר — שטח טרפז = (b₁ + b₂) ÷ 2 × h = (14 + 6) ÷ 2 × 8 = 10 × 8 = 80 מ״ר.
6. 12 — 1/4 × 48 = 48 ÷ 4 = 12 מנות צמחוניות.
7. 4 — המספרים הראשוניים בין 20 ל-40: 23, 29, 31, 37. סה״כ 4 מספרים.
8. 6 חודשים — שלב 1: קופה א׳ אחרי n חודשים: 400 + 30n. שלב 2: קופה ב׳ אחרי n חודשים: 100 + 80n. שלב 3: תנאי שוויון: 400 + 30n = 100 + 80n. שלב 4: 400 − 100 = 80n − 30n → 300 = 50n → n = 6. בדיקה: א׳ = 400+180 = 580 ש״ח; ב׳ = 100+480 = 580 ש״ח ✓.
9. 70 — השכיח הוא הציון המופיע הכי הרבה פעמים. 70 מופיע 3 פעמים — יותר מכל ציון אחר.
10. 84.7 — שלב 1: בנים = 5/9 × 27 = 15, בנות = 4/9 × 27 = 12. שלב 2: סכום ציוני בנים = 15 × 82 = 1230. שלב 3: סכום ציוני בנות = 12 × 88 = 1056. שלב 4: סכום כולל = 1230 + 1056 = 2286. שלב 5: ממוצע = 2286 ÷ 27 = 84.666... ≈ 84.7.
11. 124 סמ״ר — שטח מלבן: 10 × 14 = 140 סמ״ר. שטח 4 ריבועים שנחתכו: 4 × (2×2) = 16 סמ״ר. שטח נותר: 140 − 16 = 124 סמ״ר.
12. 270 — תוספת ביום שני: 25% מ-120 = 0.25 × 120 = 30. ביום שני נמכרו: 120 + 30 = 150. בסך הכל: 120 + 150 = 270.
13. 72 ₪ — שלב 1: גבינה לבנה = 3/5 × 2.5 = 1.5 ק״ג שלב 2: גבינה צהובה = 2.5 − 1.5 = 1 ק״ג שלב 3: עלות לבנה = 1.5 × 24 = 36 ₪ שלב 4: עלות צהובה = 1 × 36 = 36 ₪ שלב 5: סה״כ = 36 + 36 = 72 ₪
14. 72 ק״מ/ש — שלב 1: סך המרחק = 180 + 70 = 250 ק״מ. שלב 2: סך הזמן = 2.5 + 1 = 3.5 שעות. שלב 3: מהירות ממוצעת = 250 ÷ 3.5 = 500 ÷ 7 ≈ 71.4 ≈ 72 ק״מ/ש. בדיקה: 72 × 3.5 = 252 ≈ 250 ✓ (מעוגל).
15. 4 — 4 מופיע 3 פעמים.
16. 20% — מחיר מבצע: 2 חולצות ב-3 רגילות = 2 × 18 = 36 ₪ לזוג. ב-90 ₪ בקנייה רגילה: 90 ÷ 18 = 5 חולצות. במבצע: 90 ÷ 36 × 2 = 2.5 × 2 = 5 אינו שלם — נחשב: 2 חולצות עולות 36 ₪, 4 חולצות עולות 72 ₪, 6 חולצות עולות 108 ₪ (מבצע). ב-90 ₪ במבצע: 4 חולצות ב-72 ₪ + 18 ₪ = 5 חולצות ב-90 ₪. בקנייה רגילה: 90 ÷ 18 = 5. ניסיון מחדש — מחיר מבצע שונה. נציין: 2 חולצות עולות מחיר של 3 ÷ 3 = חולצה אחת בחינם מכל 2. כלומר לכל 2 ₪ מחיר, מקבלים 3. ב-90 ₪: 90 ÷ 18 = 5 חולצות רגיל, ובמבצע 90 ÷ 12 = 7.5 → 6 חולצות. 6 > 5, הפרש 1, אחוז: 1/5 × 100 = 20%.
17. 25% — העלייה: 50 − 40 = 10 ₪. אחוז העלייה ביחס למחיר ההתחלתי: (10 ÷ 40) × 100% = 25%.
18. 9 ק״מ — רכב: 5/8 × 24 = 15 ק״מ. נותרו: 24 − 15 = 9 ק״מ.
19. 0% (אין שינוי) — מחיר מקורי 100. אחרי עלייה 25%: 100 × 1.25 = 125. אחרי ירידה 20%: 125 × 0.80 = 100. חזרנו לאותו מחיר — שינוי 0%.
20. 80 — סכום: 85 + 70 + 90 + 75 = 320. ממוצע: 320 ÷ 4 = 80.
21. 17/12 — 9/4 - 5/6 = 27/12 - 10/12 = 17/12.
22. 90 ₪ — הנחה: 1/4 × 120 = 30 ₪. מחיר לאחר הנחה: 120 − 30 = 90 ₪.
23. 80 — סכום 5 ציונים: 5×78=390. הוסף ציון 6: 390+90=480. ממוצע: 480÷6=80.
24. -4 — -7 + 3 = -4.
25. 5° — -3 + 8 = 5.
26. 14.5 — סדר עולה: 12, 13, 14, 15, 17, 17. 6 מספרים — חציון = ממוצע שני האמצעיים: (14 + 15) ÷ 2 = 14.5.
27. 5 — A × B = 36 ו-A + B = 13. פתרון: (A − B)² = (A+B)² − 4AB = 169 − 144 = 25. לכן A − B = 5. (A=9, B=4).
28. 3,312 ₪ — לאחר עלייה 15%: 3,200 × 1.15 = 3,680 ₪. לאחר ירידה 10%: 3,680 × 0.90 = 3,312 ₪.
29. -2 — -6 + 4 = -2.
30. 10 — גיל אח צעיר = 2x, גיל אח מבוגר = 3x. עוד 5 שנים: (2x+5)/(3x+5) = 3/4. חצה: 4(2x+5) = 3(3x+5) → 8x+20 = 9x+15 → x=5. גיל הצעיר: 2×5=10.