משוואה ריבועית — תרגול לכיתה ט' / י'

פתרונות

1. 1 ≤ x ≤ 3 — שורשים: x = 1, x = 3. הביטוי ≤ 0 בין השורשים: 1 ≤ x ≤ 3.
2. x = 5 או x = −5 — x² = 25, לכן x = ±5.
3. 12 מ׳ — x(x − 3) = 108 → x² − 3x − 108 = 0 → (x − 12)(x + 9) = 0 → x = 12.
4. 4(x − 2)(x + 2) — תחילה הוצאת גורם משותף: 4x² − 16 = 4(x² − 4). לאחר מכן הפרש ריבועים: 4(x − 2)(x + 2).
5. 15 מ׳ × 30 מ׳ — יהי רוחב x. אורך = 60−2x. שטח: x(60−2x) = 60x−2x². מקסימום ב-x = 15. אורך = 30. שטח = 450 מ².
6. x = 3 או x = 1/2 — (2x − 1)(x − 3) = 0. לכן x = 1/2 או x = 3.
7. −2 ≤ x ≤ −1 או 1 ≤ x ≤ 2 — נסמן t=x². (t−1)(t−4)≤0 → 1≤t≤4. לכן 1≤x²≤4 → 1≤|x|≤2 → x∈[−2,−1]∪[1,2].
8. x = 2 ו x = −5 — מכפלה = 0 כאשר אחד הגורמים = 0: x − 2 = 0 → x = 2; x + 5 = 0 → x = −5.
9. x = 3 או x = −3 — x² = 9, לכן x = √9 = 3 או x = −3.
10. x = 5 או x = −2 — מפרקים: (x − 5)(x + 2) = 0. פתרונות: x = 5 או x = −2.
11. 2 ו־3 — x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0. הפתרונות: x = 2 ו־x = 3.
12. x = 3 או x = −3 — x² = 9, לכן x = ±3.
13. נקודה אחת (משיקים) — x²=2x−1, x²−2x+1=0, (x−1)²=0, x=1 בלבד — הישר משיק לפרבולה.
14. x = 4 או x = −2 — Δ = 4 + 32 = 36. x = (2 ± 6)/2. x₁ = 4, x₂ = −2.
15. k < 3 וגם k ≠ 0 — Δ = 36 − 4k² > 0 → k² < 9 → −3 < k < 3. וגם k ≠ 0 (כדי שתהיה ריבועית). לכן: k < 3 ו-k > −3 וk ≠ 0.
16. x = 6 — 45x + 300 = 570 → 45x = 270 → x = 6.
17. x = −1 — (x + 1)² = 0 גורר x + 1 = 0, כלומר x = −1.
18. 9; 3 — מחצית המקדם של x הוא 3, ולכן מוסיפים 3² = 9. x² + 6x + 9 = (x + 3)².
19. שניהם חיוביים — מכפלת השורשים = c/a = 10 > 0, וסכום השורשים = −b/a = 7 > 0. לכן שניהם חיוביים.
20. x = 5 או x = −5 — x² = 25 גורר x = ±√25 = ±5.