משוואה ריבועית — תרגול לכיתה ט' / י'

פתרונות

1. 2 מ' — יהי רוחב x. אז אורך = x + 4. x(x+4) = 12 ⟹ x² + 4x − 12 = 0 ⟹ (x+6)(x−2) = 0. x = 2 (חיובי).
2. 5 ו-7 — x+y=12, x²+y²=74. x²+(12−x)²=74 → 2x²−24x+70=0 → x²−12x+35=0 → x=5 או x=7.
3. k = 4 — Δ = (−4)² − 4 · k · 1 = 16 − 4k = 0 → k = 4.
4. 7 — לפי נוסחת וייטה, סכום השורשים = −b/a = 7/1 = 7.
5. (x − 5)(x + 5) — x² − 25 = x² − 5². הפרש ריבועים: (x − 5)(x + 5).
6. x=2 או x=−5 — Δ=9+40=49. x=(−3±7)/2. x=4/2=2 או x=−10/2=−5.
7. x = 2 או x = 3 — נפרק: (x−2)(x−3) = 0. לכן x = 2 או x = 3.
8. (x − y)(x + y)(x² + y²) — x⁴ − y⁴ = (x²)² − (y²)² = (x² − y²)(x² + y²). כעת x² − y² = (x − y)(x + y). לכן x⁴ − y⁴ = (x − y)(x + y)(x² + y²).
9. x = 0.5 או x = −3 — Δ = 25 + 24 = 49. x = (−5 ± 7)/4. x₁=(−5+7)/4=0.5, x₂=(−5−7)/4=−3.
10. x = √2 או x = −1/√2 — Δ = 2 + 4 = 6. x = (√2 ± √6)/2. ניתן לוודא: x = √2 ו-x = −1/√2 מקיימים. (x = (√2 + √6)/2 ≈ √2 וx = (√2 − √6)/2 ≈ −0.707 = −1/√2).
11. −3 ≤ x ≤ 1 — שורשים: x = 1, x = −3. פרבולה עם a > 0 שלילית ובין השורשים: −3 ≤ x ≤ 1.
12. שניהם חיוביים — מכפלת השורשים = c/a = 10 > 0, וסכום השורשים = −b/a = 7 > 0. לכן שניהם חיוביים.
13. x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) — הנוסחה הריבועית: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a), כאשר Δ = b² − 4ac הוא הדיסקרימיננט.
14. x = 3 או x = −3 — x² = 9, לכן x = ±3.
15. x = 1 או x = −5 — x² + 4x = 5, x² + 4x + 4 = 9, (x + 2)² = 9, x + 2 = ±3. x = 1 או x = −5.
16. (2, 4) ו־(−2, 4) — x² = 4, x = ±2. נקודות חיתוך: (2,4) ו(−2,4).
17. x = 1 ו x = 3 — x² − 4x + 3 = (x−1)(x−3) = 0 → x = 1 או x = 3.
18. (2, 0) ו־(3, 0) — x² − 5x + 6 = 0, (x−2)(x−3) = 0, x = 2 או x = 3.
19. 10 ס״מ ו־8 ס״מ — אורך + רוחב = 18. x(18 − x) = 80 → x² − 18x + 80 = 0 → (x − 10)(x − 8) = 0.
20. x = 0 או x = 5 — x(x − 5) = 0, לכן x = 0 או x − 5 = 0, כלומר x = 5.