משוואה ריבועית — תרגול לכיתה ט' / י'

פתרונות

1. −2 < x < 2 — (x − 2)(x + 2) < 0. הביטוי שלילי בין השורשים: −2 < x < 2.
2. x = 2 או x = 3 — (x − 2)(x − 3) = 0 ⟹ x = 2 או x = 3.
3. x = 4 ו-x = −10 — x+3 = ±7. לכן x = 4 או x = −10.
4. x = ±2 — 3x² = 12 → x² = 4 → x = ±2.
5. (−2, 0) ו-(2, 0) — x²−4=−x²+4, 2x²=8, x²=4, x=±2. y = 4−4 = 0. נקודות: (2,0) ו(−2,0).
6. 10 ס״מ ו־8 ס״מ — אורך + רוחב = 18. x(18 − x) = 80 → x² − 18x + 80 = 0 → (x − 10)(x − 8) = 0.
7. 7 — x² − y² = (x−y)(x+y) = 5·(x+y) = 35. לכן x+y = 7.
8. x < −2 או x > 4 — (x − 4)(x + 2) > 0. הפרבולה פותחת למעלה, מעל ציר x כאשר x < −2 או x > 4.
9. −3 ≤ x ≤ 1 — שורשים: x = 1, x = −3. פרבולה עם a > 0 שלילית ובין השורשים: −3 ≤ x ≤ 1.
10. x = 1 או x = −5 — x² + 4x = 5, x² + 4x + 4 = 9, (x + 2)² = 9, x + 2 = ±3. x = 1 או x = −5.
11. x = 2 או x = −5 — כאשר מכפלה = 0, אחד הגורמים מתאפס. x − 2 = 0 → x = 2, או x + 5 = 0 → x = −5.
12. x = 5 או x = −5 — x² = 25 גורר x = ±√25 = ±5.
13. 6 ו-9 — נסמן x+y=15, xy=54. מהמשוואה הריבועית: t²−15t+54=0 → (t−6)(t−9)=0.
14. 3(x − 3)(x + 3) — תחילה הוציאו גורם משותף: 3x² − 27 = 3(x² − 9). לאחר מכן הפרש ריבועים: 3(x − 3)(x + 3).
15. כל x ≠ 0 — x² ≥ 0 תמיד, ו־x² = 0 רק כש־x = 0. לכן x² > 0 לכל x ≠ 0.
16. 3(2x − 5y)(2x + 5y) — הוציאו גורם 3: 3(4x² − 25y²). כעת 4x² − 25y² = (2x)² − (5y)² = (2x − 5y)(2x + 5y). לכן 12x² − 75y² = 3(2x − 5y)(2x + 5y).
17. 4(x − 2)(x + 2) — תחילה הוצאת גורם משותף: 4x² − 16 = 4(x² − 4). לאחר מכן הפרש ריבועים: 4(x − 2)(x + 2).
18. x ≤ −3 או x ≥ 1 (x ≠ −3) — הביטוי ≥ 0 כאשר מונה ומכנה בעלי אותו סימן, או כאשר מונה = 0. x ≤ −3 (x ≠ −3) או x ≥ 1.
19. (−2, 0) ו-(3, 5) — x²−4=x+2 → x²−x−6=0 → (x−3)(x+2)=0. x=3: y=5. x=−2: y=0.
20. 0 — Δ = b² − 4ac = 16 − 16 = 0. פתרון יחיד.