משוואה ריבועית — תרגול לכיתה ט' / י'
20 תרגילי משוואה ריבועית: נוסחת השורשים, דיסקרימיננטה, פירוק לגורמים.
תרגול מקיף במשוואות ריבועיות לתלמידי כיתה ט' ולמתחילים בתיכון (4 ו-5 יחידות). כולל פתרון בשלוש שיטות: נוסחת השורשים, פירוק לגורמים, וחילוץ x משותף. התרגילים כוללים את כל שלושת מקרי הדיסקרימיננטה (שני פתרונות, פתרון כפול, אין פתרון). 20 תרגילים עם תשובות נכונות והסבר כשקיים.
מה כלול בדף העבודה הזה?
דף העבודה כולל 20 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר MathHero — הנושא המרכזי שמכוסים: מגדל המשוואות. הדף מותאם לתלמידי כיתה ט׳ ולוקח כ-50 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.
איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית
- הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
- פתרו את כל ה-20 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~50 דקות, אך אין לחץ זמן.
- בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
- חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 20 שאלות נוספות חדשות.
- כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.
למה הדף הזה עוזר?
דפי העבודה ב-MathHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-20 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.
דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק
- 𝑥 אלגברה ומשוואות — תרגול לכיתה ז' · 25 שאלות · ~35 דק'
- 🎓 סימולציה לקבלה לכיתת מצוינות — כיתה ז' · 50 שאלות · ~75 דק'
- 🔗 מערכת משוואות — תרגול לכיתה ח' · 25 שאלות · ~50 דק'
- 📐 טריגונומטריה — תרגול מסכם לכיתה ט' · 25 שאלות · ~50 דק'
- 1.מצאו x כך שמשוואה x² + kx + 9 = 0 תהיה בעלת פתרון יחיד. מהם ערכי k האפשריים?
- 2.פתרו: (x − 2)² = 9.
- 3.פרקו לגורמים: 12x² − 75y²
- 4.מהו הסימן של x² + 1 לכל x ממשי?
- 5.פתרו: x² = 16
- 6.פתרו: x² − 2x − 8 ≤ 0.
- 7.פתרו: 4x² − 9 = 0 על ידי הפרש ריבועים
- 8.פתרו מערכת אי-שוויונות: x² − 4x < 0 ו-x² − 2x − 3 > 0.
- 9.שני מספרים שלמים חיוביים שסכומם 15 ומכפלתם 54. מה הם?
- 10.פתרו בנוסחה: x² + 6x + 9 = 0
- 11.תאגיד מרוויח P(x) = −2x² + 80x − 300 אלפי ש״ח כאשר x הוא מחיר המוצר בש״ח. מה המחיר שימקסם את הרווח?
- 12.אמוד פתרונות x² − 5 = 0 ברמת דיוק של עשרית.
- 13.פתרו: x² + 6x = −5.
- 14.פתרו את האי-שוויון: x² − x − 6 ≤ 0
- 15.השלימו לריבוע: x² + 6x + ___ = (x + ___)²
- 16.מצאו נקודות חיתוך: y = x² − 6x + 9 ו־y = x − 3.y = x − 3y = x² − 6x + 9
- 17.מצאו את נקודות החיתוך: y = x² ו־y = 2x − 1. כמה נקודות חיתוך?y = 2x − 1y = x²
- 18.פרקו לגורמים: 3x² − 27
- 19.פתרו: x² − 7x + 12 = 0
- 20.מהי הנוסחה הריבועית (הנוסחה הכללית לפתרון ax² + bx + c = 0)?
פתרונות
- k = 6 או k = −6 — פתרון יחיד כאשר Δ = 0: k² − 36 = 0 → k = ±6.
- x = 5 או x = −1 — √9 = 3, ולכן x − 2 = ±3, כלומר x = 5 או x = −1.
- 3(2x − 5y)(2x + 5y) — הוציאו גורם 3: 3(4x² − 25y²). כעת 4x² − 25y² = (2x)² − (5y)² = (2x − 5y)(2x + 5y). לכן 12x² − 75y² = 3(2x − 5y)(2x + 5y).
- תמיד חיובי — x² ≥ 0 לכל x, ולכן x² + 1 ≥ 1 > 0 — תמיד חיובי.
- x = ±4 — x² = 16 נותן x = 4 או x = −4, כלומר x = ±4.
- −2 ≤ x ≤ 4 — (x−4)(x+2) ≤ 0 — הכפל אי-חיובי בין השורשים: −2 ≤ x ≤ 4.
- x = 3/2 או x = −3/2 — 4x² − 9 = (2x − 3)(2x + 3) = 0. 2x = 3 → x = 3/2 או 2x = −3 → x = −3/2.
- 3 < x < 4 — x² − 4x < 0 → 0 < x < 4. x² − 2x − 3 > 0 → x < −1 או x > 3. חיתוך: 3 < x < 4.
- 6 ו-9 — נסמן x+y=15, xy=54. מהמשוואה הריבועית: t²−15t+54=0 → (t−6)(t−9)=0.
- x = −3 — Δ = 36 − 36 = 0. פתרון יחיד: x = −6/2 = −3.
- 20 ש״ח — x קודקוד = −80 / (2·(−2)) = 80/4 = 20 ש״ח.
- ±2.2 — x = ±√5 ≈ ±2.236 ≈ ±2.2.
- x = −1 או x = −5 — x² + 6x + 5 = 0 → (x + 1)(x + 5) = 0 → x = −1 או x = −5.
- −2 ≤ x ≤ 3 — שורשי x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2): x = 3 ו־x = −2. הפרבולה שלילית בין השורשים.
- 9; 3 — x² + 6x + 9 = (x + 3)². השלמה לריבוע: (6/2)² = 9.
- (3, 0) ו-(4, 1) — x²−6x+9=x−3, x²−7x+12=0, (x−3)(x−4)=0. נקודות: (3,0) ו(4,1).
- נקודה אחת (משיקים) — x²=2x−1, x²−2x+1=0, (x−1)²=0, x=1 בלבד — הישר משיק לפרבולה.
- 3(x − 3)(x + 3) — תחילה הוציאו גורם משותף: 3x² − 27 = 3(x² − 9). לאחר מכן הפרש ריבועים: 3(x − 3)(x + 3).
- x = 3 או x = 4 — x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4) = 0 → x = 3 או x = 4.
- x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) — הנוסחה הריבועית: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a), כאשר Δ = b² − 4ac הוא הדיסקרימיננט.