משוואה ריבועית — תרגול לכיתה ט' / י'

פתרונות

1. 15 ס״מ — f(3) = 3² + 2·3 = 9 + 6 = 15 ס״מ.
2. 4(x − 2)(x + 2) — תחילה הוצאת גורם משותף: 4x² − 16 = 4(x² − 4). לאחר מכן הפרש ריבועים: 4(x − 2)(x + 2).
3. (x − y)(x + y)(x² + y²) — x⁴ − y⁴ = (x²)² − (y²)² = (x² − y²)(x² + y²). כעת x² − y² = (x − y)(x + y). לכן x⁴ − y⁴ = (x − y)(x + y)(x² + y²).
4. x = 2 ו-x = 3 — פירוק: (x−2)(x−3) = 0. לכן x = 2 או x = 3.
5. אין נקודות חיתוך — x² = −1 אין לה פתרון ממשי כי x² ≥ 0 תמיד.
6. (0, 0) ו־(1, 3) — x² + 2x = 3x, x² − x = 0, x(x−1) = 0. נקודות: (0,0) ו(1,3).
7. x = 2 או x = 3 — מפרקים: (x − 2)(x − 3) = 0, לכן x = 2 או x = 3.
8. 3(x − 3)(x + 3) — תחילה הוציאו גורם משותף: 3x² − 27 = 3(x² − 9). לאחר מכן הפרש ריבועים: 3(x − 3)(x + 3).
9. k < 4, k ≠ 0 — לשני פתרונות שונים דרוש Δ > 0: (−4)²−4k·1>0. 16−4k>0. k<4. גם k≠0 (אחרת לא ריבועית).
10. ±7 — x² = 49 נותן x = 7 או x = −7.
11. (3, 4) ו-(4, 3) — y=7−x. x²+(7−x)²=25, 2x²−14x+49=25, 2x²−14x+24=0, x²−7x+12=0, (x−3)(x−4)=0.
12. x=2 או x=3 — נחפש שני מספרים שמכפלתם 6 וסכומם 5: 2 ו-3. (x−2)(x−3)=0. x=2 או x=3.
13. 20 ש״ח — x קודקוד = −80 / (2·(−2)) = 80/4 = 20 ש״ח.
14. x > −1/2 — x²+4x+4 > x²−2x+1 → 6x > −3 → x > −1/2.
15. שניהם חיוביים — מכפלת השורשים = c/a = 10 > 0, וסכום השורשים = −b/a = 7 > 0. לכן שניהם חיוביים.
16. x = 3 — ציר סימטריה: x = −b/(2a) = 6/2 = 3.
17. −10 — לפי וייטה, מכפלת השורשים = c/a = −10/1 = −10.
18. −4 < x < 2 — שורשים: x = −4, x = 2 (פירוק (x + 4)(x − 2)). הפרבולה שלילית בין −4 ל-2.
19. (−1, 1) ו־(2, 4) — x² = x + 2, x² − x − 2 = 0, (x−2)(x+1) = 0, x = 2 או x = −1. נקודות: (2,4) ו(−1,1).
20. x = 3 או x = 6 — (x − 3)(x − 6) = 0 → x = 3 או x = 6.