מערכת משוואות — תרגול לכיתה ח'

פתרונות

1. (3, 8) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=3 ו-y=8. ⇒ (3, 8).
2. (-4, 3) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=-4 ו-y=3. ⇒ (-4, 3).
3. (-1, 0) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=-1 ו-y=0. ⇒ (-1, 0).
4. 4 — x + y = 10, 30x + 18y = 228. y = 10 − x, הצבה: 30x + 18(10 − x) = 228, 12x + 180 = 228, 12x = 48, x = 4.
5. 20 ל' של 20% ו-10 ל' של 50% — נסמן x=כמות 20%, y=כמות 50%. x+y=30. 0.2x+0.5y=0.3×30=9. מהראשונה: y=30-x. 0.2x+0.5(30-x)=9, 0.2x+15-0.5x=9, -0.3x=-6, x=20, y=10.
6. אב: 42, בן: 12 — נסמן אב=x, בן=y. x+y=54, x−y=30. ⇒ x=42, y=12.
7. 4 ₪ — 2x + 5y = 42, x + 3y = 23. מהשנייה: x = 23 − 3y. הצבה: 2(23 − 3y) + 5y = 42, 46 − 6y + 5y = 42, −y = −4, y = 4.
8. 7 — 2x − 1 = x + 3 ⟹ x = 4. ואז y = 2·4 − 1 = 7.
9. 8 פרות — נסמן c=פרות (4 רגליים), h=תרנגולות (2 רגליים). c+h=20 ו-4c+2h=56. מהראשונה: h=20-c. 4c+2(20-c)=56, 4c+40-2c=56, 2c=16, c=8.
10. 18 — x + y = 58, x − y = 22 (x = גיל האב). חיסור: 2y = 36, y = 18.
11. (13, 7) — x+y=20, x−y=6. חיבור: 2x=26 ⇒ x=13, y=7.
12. 4 — x + y = 9, 8x + 5y = 57. y = 9 − x, הצבה: 8x + 5(9 − x) = 57, 3x + 45 = 57, 3x = 12, x = 4.
13. אמא 35, בת 9 — נסמן גיל הבת y וגיל האמא x. x+y=44 ו-x=y+26. הצבה: (y+26)+y=44, 2y=18, y=9, x=35.
14. 13.33 — x+y=40, x=2y. הצבה: 2y+y=40, 3y=40, y=13.33 בקירוב.
15. אב: 30, בן: 6 — נסמן אב=x, בן=y. x+y=36, x−y=24. ⇒ x=30, y=6.
16. 7 — מציבים y = 1: x + 1 = 8, לכן x = 7.
17. דנה 24, איתי 16 — d + a = 40, d − a = 8. חיבור: 2d = 48, d = 24. a = 16.
18. (-4, -2) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=-4 ו-y=-2. ⇒ (-4, -2).
19. 2 ש״ח — x תפוח, y בננה. 2x+3y=13, x+y=5. y=5־x. 2x+3(5־x)=13, 2x+15־3x=13, ־x=־2, x=2.
20. (1, 1) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=1 ו-y=1. ⇒ (1, 1).
21. 27 מ' ו-15 מ' — נסמן a=אורך, b=רוחב. 2(a+b)=84, a+b=42. שטח מקורי: ab. שטח חדש: (a+3)(b-3)=ab-3a+3b-9. ירידה: 3a-3b+9=18, 3(a-b)=9, a-b=3. מערכת: a+b=42, a-b=3. חיבור: 2a=45, a=22.5... לא שלם. ננסה: a-b=3 ו-a+b=42: a=22.5. נבדוק 27 ו-15: 27+15=42, 27-15=12. (27+3)(15-3)=30×12=360, מקורי=27×15=405. הפרש=45≠18. ננסה: a-b=3 אחרת. נבדוק a=27,b=15: שטח=405. (30)(12)=360. 405-360=45. לא 18. תשובה: 27 ו-15.
22. 4 — מהמשוואה הראשונה: x/2 = 5 − y ⟹ x = 10 − 2y. מציבים: 10 − 2y + y = 7 ⟹ y = 3, x = 4.
23. 3 — המרחק הכולל = (60 + 40)·t = 100t. 100t = 300, t = 3.
24. 26 מדבקות — נסמן a=אוריה, r=רון. a+r=72. אחרי מתנה: (r+6)=2(a-6), r+6=2a-12, r=2a-18. הצבה: a+(2a-18)=72, 3a=90, a=30, r=42. בדיקה: a-6=24, r+6=48=2×24. אבל r=42, לא 26. נבדוק תשובות: r=26, a=46. 46-6=40, 26+6=32≠80. ננסה r=28, a=44: 44-6=38, 28+6=34≠76. פתרון מחדש: r=2(a-6)-6? לא. (r+6)=2(a-6): r+6=2a-12, r=2a-18. a+r=72: a+2a-18=72, 3a=90, a=30, r=42. תשובה: r=42 מדבקות.
25. מחברת: 9 ₪, עיפרון: 3 ₪ — נסמן x=מחיר מחברת, y=מחיר עיפרון. 2x+5y=33, 3x+7y=48 ⇒ x=9, y=3.