מערכת משוואות — תרגול לכיתה ח'

פתרונות

1. בנים: 25, בנות: 17 — x+y=42, x−y=8 ⇒ בנים=25, בנות=17.
2. x=3, y=2 — חיבור: 4x = 12, x = 3. ולכן y = 3 − 1 = 2.
3. x = 3, y = 4 — חיבור: 4x = 12, x = 3. הצבה: 3 + y = 7, y = 4.
4. (11, 3) — x+y=14, x−y=8. חיבור: 2x=22 ⇒ x=11, y=3.
5. (10, 6) — x+y=16, x−y=4. חיבור: 2x=20 ⇒ x=10, y=6.
6. 21 — מחיבור: 2x = 14 → x = 7. y = 3. x·y = 21.
7. (3, 0) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=3 ו-y=0. ⇒ (3, 0).
8. מחברת: 8 ₪, עיפרון: 4 ₪ — נסמן x=מחיר מחברת, y=מחיר עיפרון. 3x+2y=32, 4x+4y=48 ⇒ x=8, y=4.
9. 5 ו־9 — x + y = 14, xy = 45. y = 14 − x ⇒ x(14 − x) = 45 ⇒ x² − 14x + 45 = 0 ⇒ (x − 5)(x − 9) = 0.
10. 30 — x גברים, y נשים. x+y=50, x־y=10. חיבור: 2x=60, x=30.
11. x = 7, y = 3 — חיברו: 2x = 14 ⟹ x = 7. הציבו: y = 10 − 7 = 3.
12. אורך: 12, רוחב: 7 — 2(x+y)=38 ⇒ x+y=19; x−y=5 ⇒ x=12, y=7.
13. (1, 1) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=1 ו-y=1. ⇒ (1, 1).
14. מחברת: 5 ₪, עיפרון: 4 ₪ — נסמן x=מחיר מחברת, y=מחיר עיפרון. 4x+3y=32, 5x+5y=45 ⇒ x=5, y=4.
15. 48 — (x + y)² = x² + 2xy + y² ⇒ 196 = 100 + 2xy ⇒ 2xy = 96 ⇒ xy = 48.
16. (18, 12) — x+y=30, x−y=6. חיבור: 2x=36 ⇒ x=18, y=12.
17. (7, 3) — x+y=10, x−y=4. חיבור: 2x=14 ⇒ x=7, y=3.
18. (0, 3) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=0 ו-y=3. ⇒ (0, 3).
19. (-7, 2) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=-7 ו-y=2. ⇒ (-7, 2).
20. 3 — מציבים x = 3: 6 + 3y = 15, אז 3y = 9, y = 3.
21. (11, 1) — x+y=12, x−y=10. חיבור: 2x=22 ⇒ x=11, y=1.
22. (2, 3) או (3, 2) — מ־x + y = 5: y = 5 − x. הצבה: x² + (5 − x)² = 13 → 2x² − 10x + 25 = 13 → x² − 5x + 6 = 0 → (x − 2)(x − 3) = 0. ולכן (2, 3) או (3, 2).
23. 18 — x + y = 58, x − y = 22 (x = גיל האב). חיסור: 2y = 36, y = 18.
24. 63 — עשרות a, יחידות b. a+b=9, (10a+b)־(10b+a)=27 → 9a־9b=27 → a־b=3. חיבור: 2a=12, a=6, b=3. המספר 63.
25. (-4, 5) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=-4 ו-y=5. ⇒ (-4, 5).