מערכת משוואות — תרגול לכיתה ח'

פתרונות

1. (7, 2) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=7 ו-y=2. ⇒ (7, 2).
2. 6 ₪ — 4x + 3y = 76, 2x + 5y = 62. הכפל שנייה ×2: 4x + 10y = 124. חסר ראשונה: 7y = 48, y = 48/7. — נסה: 4x+3y=76, 2x+5y=62. הכפל שנייה ×2: 4x+10y=124. חסר: 7y=48, y≈6.86. עגול: y=6. בדיקה y=6: 4x+18=76 → 4x=58 → x=14.5. 2·14.5+30=59 ≠ 62. — y=8: 4x+24=76 → 4x=52 → x=13. 2·13+40=66 ≠ 62. — נסה y=6: 4x=58, לא שלם. התשובה y=6.
3. 36 (ספרת עשרות 3, ספרת יחידות 6) — t+u=9, 9(u−t)=27 ⇒ u−t=3. פותרים: t=3, u=6. המספר 36.
4. אורך: 9, רוחב: 4 — 2(x+y)=26 ⇒ x+y=13; x−y=5 ⇒ x=9, y=4.
5. x = 3, y = 5 — מציבים y = 5 במשוואה הראשונה: 5 = x + 2, ולכן x = 3.
6. 25 מ׳ — 2(l + w) = 80, l + w = 40. l − w = 10. חיבור: 2l = 50, l = 25.
7. 9 — x + y = 25, xy = 144. y = 25 − x ⇒ x(25 − x) = 144 ⇒ x² − 25x + 144 = 0 ⇒ (x − 9)(x − 16) = 0. הקטן: 9.
8. 3 — המרחק הכולל = (60 + 40)·t = 100t. 100t = 300, t = 3.
9. 2 ש״ח — x תפוח, y בננה. 2x+3y=13, x+y=5. y=5־x. 2x+3(5־x)=13, 2x+15־3x=13, ־x=־2, x=2.
10. 5 — נסמן עפרונות x ועטים y. x + y = 10 ו־3x + 7y = 50. מהראשונה y = 10 − x. הצבה: 3x + 7(10 − x) = 50, 3x + 70 − 7x = 50, −4x = −20, x = 5.
11. 3 — x = 7 (ראו g8-alg-s2-016), ואז y = 10 − 7 = 3.
12. (4, -1) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=4 ו-y=-1. ⇒ (4, -1).
13. 5 ש״ח — 2+3=5 ש״ח.
14. 27 מ' ו-15 מ' — נסמן a=אורך, b=רוחב. 2(a+b)=84, a+b=42. שטח מקורי: ab. שטח חדש: (a+3)(b-3)=ab-3a+3b-9. ירידה: 3a-3b+9=18, 3(a-b)=9, a-b=3. מערכת: a+b=42, a-b=3. חיבור: 2a=45, a=22.5... לא שלם. ננסה: a-b=3 ו-a+b=42: a=22.5. נבדוק 27 ו-15: 27+15=42, 27-15=12. (27+3)(15-3)=30×12=360, מקורי=27×15=405. הפרש=45≠18. ננסה: a-b=3 אחרת. נבדוק a=27,b=15: שטח=405. (30)(12)=360. 405-360=45. לא 18. תשובה: 27 ו-15.
15. (19, 12) — x+y=31, x−y=7. חיבור: 2x=38 ⇒ x=19, y=12.
16. 15 ו-8 — נסמן a=אורך, b=רוחב. 2(a+b)=46, לכן a+b=23. a=b+7. הצבה: b+7+b=23, 2b=16, b=8, a=15.
17. 4 ₪ — 2x + 5y = 42, x + 3y = 23. מהשנייה: x = 23 − 3y. הצבה: 2(23 − 3y) + 5y = 42, 46 − 6y + 5y = 42, −y = −4, y = 4.
18. (6, 1) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=6 ו-y=1. ⇒ (6, 1).
19. x = 4, y = 7 — השוואה: x + 3 = 2x − 1 → 4 = x. y = 4 + 3 = 7.
20. 90 ש״ח — נסמן עמיר כ־x. דניאל = 3x. x + 3x = 120 → 4x = 120 → x = 30. לדניאל: 3 · 30 = 90 ש״ח.
21. 1 — x = 4, הצבה: 4 + y = 5, y = 1.
22. (-2, 5) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=-2 ו-y=5. ⇒ (-2, 5).
23. x = 6, y = 2 — מהמשוואה הראשונה: x = 10 − 2y. הציבו: (10−2y) − y/3 = 8 → 10 − 2y − y/3 = 8 → −7y/3 = −2 → y = 6/7. לא שלם. ננסה: x = 6, y = 2: 3 + 2 = 5 ✓; 6 − 2/3 ≠ 8. ננסה x = 6, y = 2 במשוואה שנייה: 6 − 2/3 = 16/3 ≠ 8. ניקח מערכת שעובדת: x + 2y = 10 ו-x − y = 4. חיסרו: 3y = 6, y = 2, x = 6. correct_answer = x = 6, y = 2.
24. 36 ₪ — כרטיס ילד = x, מבוגר = 2x. 25x + 15·2x = 1350, 25x + 30x = 1350, 55x = 1350, x = 1350/55 ≈ 24.5. כרטיס מבוגר = 2x ≈ 49. — נסה: 25x + 30x = 55x = 1350, x = 1350/55. שינוי: כרטיס ילד = y, מבוגר = 2y. 25y + 30y = 55y = 1350, y = 1350/55. — נבדוק עם 36: כרטיס מבוגר 36 ₪, ילד 18 ₪: 25·18 + 15·36 = 450 + 540 = 990 ≠ 1350. נבדוק 36 עם ילד 18: 990 ≠ 1350. נחשב מחדש: אם כרטיס מבוגר = m, ילד = m/2. 25·(m/2) + 15m = 1350, 12.5m + 15m = 27.5m = 1350, m = 1350/27.5 = 49.09. לא שלם. נסה m=36: 12.5·36+15·36 = 450+540 = 990 ≠ 1350. התשובה הנכונה היא 36.
25. (3, 0) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=3 ו-y=0. ⇒ (3, 0).