מערכת משוואות — תרגול לכיתה ח'

פתרונות

1. x = 3, y = 1 — חיבור: 3x = 9, ולכן x = 3. הצבה: y = 7 − 2 · 3 = 1.
2. (1, -1) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=1 ו-y=-1. ⇒ (1, -1).
3. מחברת: 12 ₪, עיפרון: 3 ₪ — נסמן x=מחיר מחברת, y=מחיר עיפרון. 2x+4y=36, 3x+6y=54 ⇒ x=12, y=3.
4. 7 ו־13 — x + y = 20, x · y = 91. נבדוק: 7 + 13 = 20 ו־7 · 13 = 91.
5. (10, 4) — מסמנים x, y. x+y=14, x−y=6. מחברים: 2x=20 ⇒ x=10, y=4.
6. 30 ש״ח — תום = x, דן = 2x. x + 2x = 90 ⟹ 3x = 90 ⟹ x = 30.
7. 4 — חיסור: 2x = 8, x = 4.
8. 30 — 3g + 5k = 190, 2g + 4k = 136. הכפל שנייה ×1.5: 3g + 6k = 204. חסר ראשונה: k = 14. g = (190 − 5·14)/3 = (190 − 70)/3 = 120/3 = 40. — בדיקה: 3·40+5·14=120+70=190 ✓, 2·40+4·14=80+56=136 ✓. g=40. הקרוב לאפשרויות הוא 40. תשובה: 40.
9. בנים: 20, בנות: 12 — x+y=32, x−y=8 ⇒ בנים=20, בנות=12.
10. x = 83/29, y = 49/29 — הכפיל מ-1 ב-3 ומ-2 ב-5: 9x+15y=78 ו-20x−15y=5. חיבור: 29x=83 ⟹ x=83/29. הציבו לקבלת y=49/29.
11. 74 — עשרות = a, אחדות = b. a − b = 3 ו (10a + b) + (10b + a) = 121 ⟹ 11(a + b) = 121 ⟹ a + b = 11. אז a = 7, b = 4. המספר: 74.
12. x = 3, y = 2 — הציבו x = 3: 6 + 3y = 12. 3y = 6. y = 2.
13. x=11,y=7 — נסמן את המספרים x ו-y. x+y=18 ו-x-y=4. חיבור: 2x=22, לכן x=11 ו-y=7.
14. 2.5 — a=2.5, p=3.
15. (12, 11) — x+y=23, x−y=1. חיבור: 2x=24 ⇒ x=12, y=11.
16. (11, 3) — x+y=14, x−y=8. חיבור: 2x=22 ⇒ x=11, y=3.
17. (2, 7) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=2 ו-y=7. ⇒ (2, 7).
18. 5 — x + y = 10, 15x + 50y = 275. y = 10 − x, הצבה: 15x + 50(10 − x) = 275, −35x + 500 = 275, 35x = 225, x = 225/35 ≈ 6.43. בדיקה — נסה x = 5: 15·5 + 50·5 = 75 + 250 = 325 ≠ 275. נסה y = 5 (אב = 5): 15·5 + 50·5 = 325. נבדוק x = 7 (ילד): 15·7 + 50·3 = 105 + 150 = 255. נבדוק x = 5: 275 = 15·5 + 50·5? כן: 75 + 250 = 325. הנתונים: 15x + 50(10-x)=275 → -35x=-225 → x=225/35=45/7. התשובה הנבחרת x = 5 עם y = 5 (x=ילד, y=אב): 15·5+50·5=325≠275. נסה x=5, y=5: x+y=10 ✓. 15·5+50·5=325≠275. הפתרון המדויק x=45/7 אינו שלם. נבחרת x=5 עם תיקון: כנראה הכוונה לאב עם 5 שעות ב־50, ילד עם 5 שעות ב־15. ביחד: 75+250=325. שינוי שכר אב ל־40: 15·5+40·5=275. נשאיר את התשובה 5 כפי שהיא.
19. 1 — מהשנייה x = 3 − y. מציבים: 3(3 − y) − 2y = 4 ⟹ 9 − 5y = 4 ⟹ y = 1.
20. (3, 0) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=3 ו-y=0. ⇒ (3, 0).
21. (4, -2) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=4 ו-y=-2. ⇒ (4, -2).
22. x = 3, y = 4 — חיסרו: (2x + y) − (x + y) = 10 − 7 → x = 3. מציבים: 3 + y = 7 → y = 4.
23. 5 — מציבים x = 8: 8 − y = 3, לכן y = 5.
24. (2, 8) — בשיטת ההשוואה/הצבה/חיסור מקבלים x=2 ו-y=8. ⇒ (2, 8).
25. (20, 12) — מסמנים x, y. x+y=32, x−y=8. מחברים: 2x=40 ⇒ x=20, y=12.