מערכת משוואות — תרגול לכיתה ח'

פתרונות

1. 63 — עשרות = t, אחדות = u. t = u + 3. u = 2t − 9. מציבים: u = 2(u+3) − 9 = 2u − 3 → −u = −3 → u = 3. t = 6. המספר: 63. בדיקה: 6−3=3 ✓, 3=2×6−9=3 ✓.
2. x=2, y=4 — חיסור המשוואה השנייה מהראשונה: 2y = 8, y = 4. ולכן 2x + 4 = 8, x = 2.
3. 4 — מציבים y = 4: 5x + 4 = 24, אז 5x = 20, x = 4.
4. 4 — חיבור המשוואות: 2x=8, לכן x=4.
5. (11, 3) — x+y=14, x−y=8. חיבור: 2x=22 ⇒ x=11, y=3.
6. 13/5 — מהמשוואה השנייה: x = y + 1. מציבים: 3(y+1) + 2y = 16 → 5y + 3 = 16 → 5y = 13 → y = 13/5.
7. x = 2, y = 6 ו־x = −3, y = 1 — הצבה: x² + x + 4 = 10 → x² + x − 6 = 0 → (x+3)(x−2) = 0. x = 2 → y = 6. x = −3 → y = 1.
8. 4 שעות — נסמן t=שעות שנסע הנהג השני. הנהג הראשון נסע t+1 שעות. מרחקים שווים: 80(t+1)=100t, 80t+80=100t, 80=20t, t=4.
9. (1, 3) — בשיטת ההשוואה/הצבה/חיסור מקבלים x=1 ו-y=3. ⇒ (1, 3).
10. 4 — x־y=8, x=3y. הצבה: 3y־y=8, 2y=8, y=4.
11. 7 — 2x − 1 = x + 3 ⟹ x = 4. ואז y = 2·4 − 1 = 7.
12. x = 3, y = 5 — מציבים y = 5 במשוואה הראשונה: 5 = x + 2, ולכן x = 3.
13. (14, 6) — x+y=20, x−y=8. חיבור: 2x=28 ⇒ x=14, y=6.
14. 4 — x + y = 10, 30x + 18y = 228. y = 10 − x, הצבה: 30x + 18(10 − x) = 228, 12x + 180 = 228, 12x = 48, x = 4.
15. (-3, 7) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=-3 ו-y=7. ⇒ (-3, 7).
16. 38 — גיל אבא = 13 + 25 = 38.
17. (-3, -1) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=-3 ו-y=-1. ⇒ (-3, -1).
18. 15 ו-8 — נסמן a=אורך, b=רוחב. 2(a+b)=46, לכן a+b=23. a=b+7. הצבה: b+7+b=23, 2b=16, b=8, a=15.
19. מחברת: 8 ₪, עיפרון: 4 ₪ — נסמן x=מחיר מחברת, y=מחיר עיפרון. 3x+2y=32, 4x+4y=48 ⇒ x=8, y=4.
20. (19, 12) — x+y=31, x−y=7. חיבור: 2x=38 ⇒ x=19, y=12.
21. 9 ש״ח — עט = s − 2. 5(s−2) + 3s = 62 → 5s−10+3s = 62 → 8s = 72 → s = 9.
22. 1 — מהראשונה: y = (3x − 1)/2. הצבה: 5x − 3(3x − 1)/2 = 2 ⟹ 10x − 9x + 3 = 4 ⟹ x = 1.
23. 20 ש״ח — 100־x = 60+x. 40=2x, x=20.
24. (19, 1) — x+y=20, x−y=18. חיבור: 2x=38 ⇒ x=19, y=1.
25. (19, 15) — x+y=34, x−y=4. חיבור: 2x=38 ⇒ x=19, y=15.