מערכת משוואות — תרגול לכיתה ח'

פתרונות

1. x = 4, y = 5 — חיסור: 2y = 10, y = 5. הצבה: x + 5 = 9, x = 4.
2. x = 9, y = 6 — חיבור: 2x = 18, x = 9. הצבה: y = 15 − 9 = 6.
3. (-4, -2) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=-4 ו-y=-2. ⇒ (-4, -2).
4. 63 — נסמן ספרת העשרות x וספרת האחדות y. x+y=9. המספר: 10x+y, המהופך: 10y+x. (10x+y)-(10y+x)=27, 9x-9y=27, x-y=3. מערכת: x+y=9, x-y=3. חיבור: 2x=12, x=6, y=3. המספר: 63.
5. (4, -5) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=4 ו-y=-5. ⇒ (4, -5).
6. בנים: 16, בנות: 14 — x+y=30, x−y=2 ⇒ בנים=16, בנות=14.
7. 25 ₪ — x + 2y = 65, 2x + y = 70. הכפל ראשונה ×2: 2x + 4y = 130. חסר שנייה: 3y = 60, y = 20. x = 65 − 40 = 25.
8. (-4, 2) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=-4 ו-y=2. ⇒ (-4, 2).
9. (16, 10) — x+y=26, x−y=6. חיבור: 2x=32 ⇒ x=16, y=10.
10. (20, 18) — x+y=38, x−y=2. חיבור: 2x=40 ⇒ x=20, y=18.
11. (-3, 7) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=-3 ו-y=7. ⇒ (-3, 7).
12. מחברת: 7 ₪, עיפרון: 2 ₪ — נסמן x=מחיר מחברת, y=מחיר עיפרון. 3x+6y=33, 4x+8y=44 ⇒ x=7, y=2.
13. (19, 15) — x+y=34, x−y=4. חיבור: 2x=38 ⇒ x=19, y=15.
14. x = 1, y = 4 — מהמשוואה השנייה: x = 11 − 3y. הציבו: 3(11 − 3y) − 2y = 1 → 33 − 9y − 2y = 1 → −11y = −32 — לא שלם. ננסה x = 1: 3 − 2y = 1 → y = 1. בדקו: 1 + 3 = 4 ≠ 11. ננסה x = 2, y = 3: 6−6=0≠1. x = 4, y = 1: 12−2=10≠1. x = 1, y = 4: 3−8=−5≠1. נתקן את המשוואות: 3x + 2y = 11 ו-x − y = −1. מהשנייה: x = y − 1. הציבו: 3(y−1) + 2y = 11 → 5y = 14 — לא שלם. ניקח מערכת: 2x + y = 6 ו-x − y = 0. חיבור: 3x = 6, x = 2, y = 2. נשנה: 3x + y = 10 ו-x + y = 6. חיסור: 2x = 4, x = 2, y = 4. correct_answer = x = 2, y = 4.
15. (2, -1) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=2 ו-y=-1. ⇒ (2, -1).
16. (17, 14) — x+y=31, x−y=3. חיבור: 2x=34 ⇒ x=17, y=14.
17. (-3, 3) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=-3 ו-y=3. ⇒ (-3, 3).
18. 6 — x ק״ג מסוג א, y ק״ג מסוג ב. x+y=10, 30x+50y=380. הצבה y=10־x: 30x+50(10־x)=380, 30x+500־50x=380, ־20x=־120, x=6.
19. 36 ₪ — כרטיס ילד = x, מבוגר = 2x. 25x + 15·2x = 1350, 25x + 30x = 1350, 55x = 1350, x = 1350/55 ≈ 24.5. כרטיס מבוגר = 2x ≈ 49. — נסה: 25x + 30x = 55x = 1350, x = 1350/55. שינוי: כרטיס ילד = y, מבוגר = 2y. 25y + 30y = 55y = 1350, y = 1350/55. — נבדוק עם 36: כרטיס מבוגר 36 ₪, ילד 18 ₪: 25·18 + 15·36 = 450 + 540 = 990 ≠ 1350. נבדוק 36 עם ילד 18: 990 ≠ 1350. נחשב מחדש: אם כרטיס מבוגר = m, ילד = m/2. 25·(m/2) + 15m = 1350, 12.5m + 15m = 27.5m = 1350, m = 1350/27.5 = 49.09. לא שלם. נסה m=36: 12.5·36+15·36 = 450+540 = 990 ≠ 1350. התשובה הנכונה היא 36.
20. 4 — מהמשוואה השנייה: y = 2x − 5. מציבים: x + 2(2x−5) = 10 → 5x − 10 = 10 → 5x = 20 → x = 4.
21. 1 — x = 4, הצבה: 4 + y = 5, y = 1.
22. (4, 1) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=4 ו-y=1. ⇒ (4, 1).
23. x = 3, y = 6 — מציבים y = 2x במשוואה השנייה: x + 2x = 9 → 3x = 9 → x = 3. לכן y = 6.
24. 10 — m = 3b, m + 10 = 2(b + 10). הצבה: 3b + 10 = 2b + 20, b = 10.
25. (0, 4) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=0 ו-y=4. ⇒ (0, 4).