חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $x+3$ — $x^2+7x+12=(x+3)(x+4)$, מצמצמים: $x+3$.
2. $2$ — $2x+6=2(x+3)$, מצמצמים: $2$.
3. $x=3$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 3: $27=3^{3}$. לכן $3^{x}=3^{3}$ ומכאן $x=3$.
4. $4\sqrt{2}$ — מפרקים את 32 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=4\sqrt{2}$.
5. $x=2,\ x=-8$ — $|x+3|=5$ נותן שני מקרים: $x+3=5$ או $x+3=-5$, ומכאן $x=2$ או $x=-8$.
6. $x=-4,\ x=1$ — מפרקים לגורמים: $(x-(-4))(x-(1))=0$, ולכן $x=-4$ או $x=1$.
7. $x=5,\ x=-7$ — $|x+1|=6$ נותן שני מקרים: $x+1=6$ או $x+1=-6$, ומכאן $x=5$ או $x=-7$.
8. $x>2$ או $x<-1$ — מנה חיובית כששני הגורמים בעלי אותו סימן: $x>2$ או $x<-1$ ($x\neq-1$).
9. $x\geq 2$ או $x\leq -4$ — $x+1\geq3$ או $x+1\leq-3$ ולכן $x\geq2$ או $x\leq-4$.
10. פתרון יחיד — $\Delta=2^2-4\cdot1\cdot(1)=0$. $\Delta=0$ ולכן פתרון יחיד.
11. $x<-1$ או $x>5$ — שורשים $x=-1,5$. פרבולה פתוחה למעלה, חיובית מחוץ לשורשים: $x<-1$ או $x>5$.
12. $x=5,\ x=-3$ — מפרקים לגורמים: $(x-(5))(x-(-3))=0$, ולכן $x=5$ או $x=-3$.
13. $3$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $243^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{243}=3$.
14. פתרון יחיד — $\Delta=-4^2-4\cdot1\cdot(4)=0$. $\Delta=0$ ולכן פתרון יחיד.
15. $x=1,\ x=-5$ — מפרקים לגורמים: $(x-(1))(x-(-5))=0$, ולכן $x=1$ או $x=-5$.
16. $x=2,\ x=6$ — מפרקים לגורמים: $(x-(2))(x-(6))=0$, ולכן $x=2$ או $x=6$.
17. $x^2-25$ — הפרש ריבועים: $(x+5)(x-5)=x^2-25$.
18. $9.6\times 10^{3}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $9600=9.6\times 10^{3}$.
19. $x=3,\ x=6$ — מפרקים לגורמים: $(x-(3))(x-(6))=0$, ולכן $x=3$ או $x=6$.
20. $x=0,\ x=5$ — מוציאים $x$: $x(x-5)=0\Rightarrow x=0$ או $x=5$.
21. $x=5$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $32=2^{5}$. לכן $2^{x}=2^{5}$ ומכאן $x=5$.
22. $x=2,\ y=1$ — הצבה: $4x+x-1=9\Rightarrow5x=10\Rightarrow x=2$, $y=1$.
23. $m^{2}n^{2}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(mn\right)^{2}=m^{2}n^{2}$.
24. $x=\frac{1}{3}$ — כופלים ב-$x$: $x+1=4x\Rightarrow1=3x\Rightarrow x=\frac{1}{3}$.
25. $x=\frac{5}{2},\ x=-1$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=-3^2-4\cdot2\cdot(-5)=49$. $x=\frac{3\pm\sqrt{49}}{2\cdot2}$, כלומר $x=\frac{5}{2}$ או $x=-1$.
26. $6$ — כפל שורשים: $\sqrt{2}\cdot\sqrt{18}=\sqrt{2\cdot 18}=\sqrt{36}=6$.
27. שני פתרונות — $\Delta=-3^2-4\cdot1\cdot(-4)=25$. $\Delta>0$ ולכן שני פתרונות.
28. $10$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{200}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{200}{2}}=\sqrt{100}=10$.
29. $2\sqrt{5}$ — מפרקים את 20 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=2\sqrt{5}$.
30. $x=6,\ x=1$ — מפרקים לגורמים: $(x-(6))(x-(1))=0$, ולכן $x=6$ או $x=1$.