חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $x=6$ — כופלים פנים-חוץ: $4(x-3)=2x\Rightarrow4x-12=2x\Rightarrow2x=12\Rightarrow x=6$.
2. $(x+4)(x-3)$ — $4\cdot(-3)=-12$, $4+(-3)=1$: $(x+4)(x-3)$.
3. $x\geq 3$ — $-2x\leq-6$, הופכים: $x\geq3$.
4. $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{5}$: $\dfrac{2}{\sqrt{5}}\cdot\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
5. $x=4,\ x=3$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=-7^2-4\cdot1\cdot(12)=1$. $x=\frac{7\pm\sqrt{1}}{2\cdot1}$, כלומר $x=4$ או $x=3$.
6. $m>1$ — $\Delta=4-4m<0\Rightarrow m>1$.
7. $x=10,\ x=4$ — $|x-7|=3$ נותן שני מקרים: $x-7=3$ או $x-7=-3$, ומכאן $x=10$ או $x=4$.
8. $x=8,\ x=-2$ — $|x-3|=5$ נותן שני מקרים: $x-3=5$ או $x-3=-5$, ומכאן $x=8$ או $x=-2$.
9. $\sqrt[3]{x^{2}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $x^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{x^{2}}$.
10. $x=7,\ x=-7$ — $x=\pm\sqrt{49}=\pm7$.
11. $x=-6,\ x=2$ — מפרקים לגורמים: $(x-(-6))(x-(2))=0$, ולכן $x=-6$ או $x=2$.
12. $x=\frac{5}{2},\ x=-1$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=-3^2-4\cdot2\cdot(-5)=49$. $x=\frac{3\pm\sqrt{49}}{2\cdot2}$, כלומר $x=\frac{5}{2}$ או $x=-1$.
13. $(2x-3)(2x+3)$ — הפרש ריבועים: $4x^2-9=(2x-3)(2x+3)$.
14. $k=-7$ — מציבים $x=3$: $9+3k+12=0\Rightarrow3k=-21\Rightarrow k=-7$.
15. $a^{2}b^{2}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(ab\right)^{2}=a^{2}b^{2}$.
16. $p^{16}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(p^{4}\right)^{4}=p^{4\cdot 4}=p^{16}$.
17. $(x+5)^2$ — זהו ריבוע: $x^2+10x+25=(x+5)^2$.
18. $x\geq 2$ או $x\leq -4$ — $x+1\geq3$ או $x+1\leq-3$ ולכן $x\geq2$ או $x\leq-4$.
19. $m^{8}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(m^{2}\right)^{4}=m^{2\cdot 4}=m^{8}$.
20. $x^{2}y^{2}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(xy\right)^{2}=x^{2}y^{2}$.
21. $x=4$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $16=2^{4}$. לכן $2^{x}=2^{4}$ ומכאן $x=4$.
22. $3$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $243^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{243}=3$.
23. $x^{6}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $x^{9}\div x^{3}=x^{9-3}=x^{6}$.
24. $x^{3}y^{3}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(xy\right)^{3}=x^{3}y^{3}$.
25. $x<-4$ או $x>4$ — שורשים $x=-4,4$. פרבולה פתוחה למעלה, חיובית מחוץ לשורשים: $x<-4$ או $x>4$.
26. $x=3,\ x=-4$ — $12=x^2+x\Rightarrow x^2+x-12=0\Rightarrow(x+4)(x-3)=0$, $x\neq0$: $x=3$ או $x=-4$.
27. $x^{6}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $x^{4}\cdot x^{2}=x^{4+2}=x^{6}$.
28. $\dfrac{1}{x^{1}}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $x^{-1}=\dfrac{1}{x^{1}}$.
29. $m<16$ — $\Delta=64-4m>0\Rightarrow m<16$.
30. $5$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\dfrac{75}{3}}=\sqrt{25}=5$.