חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $x^{10}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $x^{5}\cdot x^{5}=x^{5+5}=x^{10}$.
2. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{3}$: $\dfrac{2}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.
3. $x=4$ — $8=4(x-2)\Rightarrow x-2=2\Rightarrow x=4$ ($x\neq2$).
4. $1$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $a^{6}\div a^{6}=a^{6-6}=1$.
5. $(x-5)(x-8)$ — $5\cdot8=40$, $5+8=13$: $(x-5)(x-8)$.
6. $a^{4}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $a^{7}\div a^{3}=a^{7-3}=a^{4}$.
7. $2.3\times 10^{3}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $2300=2.3\times 10^{3}$.
8. $3<x<8$ — שורשים $x=3,8$. הביטוי שלילי בין השורשים: $3<x<8$.
9. $2\sqrt{3}$ — מפרקים את 12 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$.
10. $x>5$ או $x<1$ — $x-3>2$ או $x-3<-2$ ולכן $x>5$ או $x<1$.
11. $4$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $64^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{64}=4$.
12. $b^{4}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $b^{2}\cdot b^{2}=b^{2+2}=b^{4}$.
13. $a^{6}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $a^{10}\div a^{4}=a^{10-4}=a^{6}$.
14. $m=8 \text{ או } m=-8$ — $\Delta=m^2-64=0\Rightarrow m=\pm8$.
15. $x=2,\ x=6$ — מפרקים לגורמים: $(x-(2))(x-(6))=0$, ולכן $x=2$ או $x=6$.
16. $x=10,\ x=6$ — $|x-8|=2$ נותן שני מקרים: $x-8=2$ או $x-8=-2$, ומכאן $x=10$ או $x=6$.
17. $x=2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 10: $100=10^{2}$. לכן $10^{x}=10^{2}$ ומכאן $x=2$.
18. $x=5$ — ערך מוחלט אינו שלילי, ולכן רק $x=5$ מקיים.
19. $x>2$ או $x<-1$ — מנה חיובית כששני הגורמים בעלי אותו סימן: $x>2$ או $x<-1$ ($x\neq-1$).
20. $(x-1)(x+1)$ — הפרש ריבועים: $x^2-1=(x-1)(x+1)$.
21. $x=0,\ x=5$ — מוציאים $x$: $x(x-5)=0\Rightarrow x=0$ או $x=5$.
22. $y^{8}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(y^{4}\right)^{2}=y^{4\cdot 2}=y^{8}$.
23. $m>1$ — $\Delta=4-4m<0\Rightarrow m>1$.
24. $x=5,\ x=4$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=-9^2-4\cdot1\cdot(20)=1$. $x=\frac{9\pm\sqrt{1}}{2\cdot1}$, כלומר $x=5$ או $x=4$.
25. $x=2,\ x=-7$ — מפרקים לגורמים: $(x-(2))(x-(-7))=0$, ולכן $x=2$ או $x=-7$.
26. $k^{12}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(k^{2}\right)^{6}=k^{2\cdot 6}=k^{12}$.
27. $x=6$ — כופלים פנים-חוץ: $4(x-3)=2x\Rightarrow4x-12=2x\Rightarrow2x=12\Rightarrow x=6$.
28. $x=5,\ x=-1$ — מפרקים לגורמים: $(x-(5))(x-(-1))=0$, ולכן $x=5$ או $x=-1$.
29. $x=2$ — $\frac{5}{x}=\frac{5}{2}\Rightarrow x=2$ ($x\neq0$).
30. $x=3,\ y=-3$ — חיבור: $2x=6\Rightarrow x=3$, $y=-3$.