חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $m=4 \text{ או } m=-4$ — $\Delta=m^2-16=0\Rightarrow m=\pm4$.
2. $x=3,\ x=-3$ — $|x|=3$ נותן שני מקרים: $x=3$ או $x=-3$, ומכאן $x=3$ או $x=-3$.
3. פתרון יחיד — $\Delta=-6^2-4\cdot3\cdot(3)=0$. $\Delta=0$ ולכן פתרון יחיד.
4. $4$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{80}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\dfrac{80}{5}}=\sqrt{16}=4$.
5. שני פתרונות — $\Delta=-7^2-4\cdot2\cdot(3)=25$. $\Delta>0$ ולכן שני פתרונות.
6. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
7. $1\sqrt{5}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{5}$: $\dfrac{5}{\sqrt{5}}\cdot\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{5\sqrt{5}}{5}=1\sqrt{5}$.
8. $(x+5)^2$ — זהו ריבוע: $x^2+10x+25=(x+5)^2$.
9. $x=3,\ y=2$ — חיבור המשוואות: $2x=6\Rightarrow x=3$, ואז $y=2$.
10. $x=1$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $2=2^{1}$. לכן $2^{x}=2^{1}$ ומכאן $x=1$.
11. $x^{10}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $x^{5}\cdot x^{5}=x^{5+5}=x^{10}$.
12. $x=1,\ x=6$ — מפרקים לגורמים: $(x-(1))(x-(6))=0$, ולכן $x=1$ או $x=6$.
13. $-5<x<5$ — $|x|<5$ פירושו $-5<x<5$.
14. $x^{5}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $x^{1}\cdot x^{4}=x^{1+4}=x^{5}$.
15. $x=4,\ x=-6$ — מפרקים לגורמים: $(x-(4))(x-(-6))=0$, ולכן $x=4$ או $x=-6$.
16. $5\sqrt{2}$ — מפרקים את 50 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$.
17. $x-6$ — $x^2-36=(x-6)(x+6)$, מצמצמים: $x-6$.
18. $4$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\dfrac{48}{3}}=\sqrt{16}=4$.
19. $-2<x<4$ — $-3<x-1<3$ ולכן $-2<x<4$.
20. $10$ — לפי וייטה, מכפלת השורשים $=\frac{c}{a}=10$.
21. $m<4$ — $\Delta=16-4m>0\Rightarrow m<4$.
22. $x=7$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $128=2^{7}$. לכן $2^{x}=2^{7}$ ומכאן $x=7$.
23. $x\leq -4$ — חלוקה ב-(-3) הופכת: $x\leq-4$.
24. $x=4,\ x=-3$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=-1^2-4\cdot1\cdot(-12)=49$. $x=\frac{1\pm\sqrt{49}}{2\cdot1}$, כלומר $x=4$ או $x=-3$.
25. $x^2-25$ — הפרש ריבועים: $(x+5)(x-5)=x^2-25$.
26. $x=6$ — מכנה משותף 6: $\frac{2x+x}{6}=3\Rightarrow3x=18\Rightarrow x=6$.
27. $x^2-4x+4$ — $(x-2)^2=x^2-4x+4$.
28. $x=5$ — ערך מוחלט אינו שלילי, ולכן רק $x=5$ מקיים.
29. $x=3$ — כפל צולב: $2x=x+3\Rightarrow x=3$ ($x\neq-3$).
30. $x=6,\ x=2$ — $|x-4|=2$ נותן שני מקרים: $x-4=2$ או $x-4=-2$, ומכאן $x=6$ או $x=2$.