חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $m<16$ — $\Delta=64-4m>0\Rightarrow m<16$.
2. $9.6\times 10^{3}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $9600=9.6\times 10^{3}$.
3. $-1\leq x\leq 5$ — $-9\leq3x-6\leq9\Rightarrow-3\leq3x... \Rightarrow-1\leq x\leq5$.
4. $0<x<5$ — שורשים $x=0,5$. הביטוי שלילי בין השורשים: $0<x<5$.
5. $x^2-4x+4$ — $(x-2)^2=x^2-4x+4$.
6. $x=-1,\ x=-6$ — מפרקים לגורמים: $(x-(-1))(x-(-6))=0$, ולכן $x=-1$ או $x=-6$.
7. $x=1$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $2=2^{1}$. לכן $2^{x}=2^{1}$ ומכאן $x=1$.
8. $\sqrt[4]{a^{1}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $a^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{a^{1}}$.
9. $3$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\dfrac{45}{5}}=\sqrt{9}=3$.
10. $x=10,\ x=6$ — $|x-8|=2$ נותן שני מקרים: $x-8=2$ או $x-8=-2$, ומכאן $x=10$ או $x=6$.
11. $x=3,\ y=4$ או $x=-4,\ y=-3$ — $x^2+(x+1)^2=25\Rightarrow2x^2+2x-24=0\Rightarrow x^2+x-12=0\Rightarrow(x-3)(x+4)=0$.
12. $x=5,\ y=3$ — $x=y+2$: $(y+2)y=15\Rightarrow y^2+2y-15=0\Rightarrow(y+5)(y-3)=0$, $y=3$ נותן $x=5$.
13. $x=6,\ x=1$ — מפרקים לגורמים: $(x-(6))(x-(1))=0$, ולכן $x=6$ או $x=1$.
14. $x=4,\ y=2$ — חיסור: $2x=8\Rightarrow x=4$, ואז $2y=4\Rightarrow y=2$.
15. $x^{1}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $3+2-4=1$, לכן התוצאה $x^{1}$.
16. $\sqrt[2]{y^{3}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $y^{\frac{3}{2}}=\sqrt[2]{y^{3}}$.
17. $m^{7}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $m^{1}\cdot m^{6}=m^{1+6}=m^{7}$.
18. $x\geq 6$ — $\frac{x}{2}\geq3\Rightarrow x\geq6$.
19. $-3\leq x\leq 3$ — $|x|\leq3$ פירושו $-3\leq x\leq3$.
20. $x-5$ — $x^2-25=(x-5)(x+5)$, מצמצמים: $x-5$.
21. $8500$ — כתיב מדעי: $8.5\times 10^{3}=8500$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
22. $x=4,\ x=3$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=-7^2-4\cdot1\cdot(12)=1$. $x=\frac{7\pm\sqrt{1}}{2\cdot1}$, כלומר $x=4$ או $x=3$.
23. $x=2$ — $\frac{5}{x}=\frac{5}{2}\Rightarrow x=2$ ($x\neq0$).
24. $1.8\times 10^{5}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $180000=1.8\times 10^{5}$.
25. $x^{4}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $7+2-5=4$, לכן התוצאה $x^{4}$.
26. $x=3,\ y=2$ — חיבור המשוואות: $2x=6\Rightarrow x=3$, ואז $y=2$.
27. $3$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $243^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{243}=3$.
28. $7\sqrt{2}$ — מפרקים את 98 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{98}=\sqrt{49\cdot 2}=7\sqrt{2}$.
29. $\sqrt[4]{x^{3}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $x^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{x^{3}}$.
30. $7$ — כפל שורשים: $\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}=\sqrt{7\cdot 7}=\sqrt{49}=7$.