חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $30000$ — כתיב מדעי: $3\times 10^{4}=30000$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
2. $p^{4}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $p^{5}\div p^{1}=p^{5-1}=p^{4}$.
3. $a^{3}b^{3}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(ab\right)^{3}=a^{3}b^{3}$.
4. $x=2,\ y=3$ — חיבור: $6x=12\Rightarrow x=2$, $y=3$.
5. $x^{5}2^{5}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(x2\right)^{5}=x^{5}2^{5}$.
6. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
7. $x\leq 3$ — $2x-2\geq3x-5\Rightarrow -x\geq-3\Rightarrow x\leq3$.
8. $x=7,\ x=-2$ — מפרקים לגורמים: $(x-(7))(x-(-2))=0$, ולכן $x=7$ או $x=-2$.
9. $x=-5,\ x=3$ — מפרקים לגורמים: $(x-(-5))(x-(3))=0$, ולכן $x=-5$ או $x=3$.
10. $2$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2$.
11. $x=2,\ x=3$ — מפרקים לגורמים: $(x-(2))(x-(3))=0$, ולכן $x=2$ או $x=3$.
12. $x=5,\ x=-1$ — $2x-4=6$ או $2x-4=-6$, כלומר $x=5$ או $x=-1$.
13. $(x+5)^2$ — זהו ריבוע: $x^2+10x+25=(x+5)^2$.
14. $600$ — כתיב מדעי: $6\times 10^{2}=600$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
15. $x=1,\ x=4$ — מפרקים לגורמים: $(x-(1))(x-(4))=0$, ולכן $x=1$ או $x=4$.
16. $x=2$ — $\frac{5}{x}=\frac{5}{2}\Rightarrow x=2$ ($x\neq0$).
17. $3<x<8$ — שורשים $x=3,8$. הביטוי שלילי בין השורשים: $3<x<8$.
18. $m=6 \text{ או } m=-6$ — $\Delta=m^2-36=0\Rightarrow m=\pm6$.
19. $x=\frac{1}{3}$ — כופלים ב-$x$: $x+1=4x\Rightarrow1=3x\Rightarrow x=\frac{1}{3}$.
20. $(x-1)(x+1)$ — הפרש ריבועים: $x^2-1=(x-1)(x+1)$.
21. $4$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $16^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{16}=4$.
22. $\dfrac{1}{8}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $2^{-3}=\dfrac{1}{2^{3}}=\dfrac{1}{8}$.
23. $x<-4$ או $x>4$ — שורשים $x=-4,4$. פרבולה פתוחה למעלה, חיובית מחוץ לשורשים: $x<-4$ או $x>4$.
24. $x=5,\ x=2$ — מפרקים לגורמים: $(x-(5))(x-(2))=0$, ולכן $x=5$ או $x=2$.
25. $(x-4)^2$ — זהו ריבוע: $x^2-8x+16=(x-4)^2$.
26. $\dfrac{1}{27}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $3^{-3}=\dfrac{1}{3^{3}}=\dfrac{1}{27}$.
27. $6$ — כפל שורשים: $\sqrt{3}\cdot\sqrt{12}=\sqrt{3\cdot 12}=\sqrt{36}=6$.
28. $x=2,\ x=-5$ — מכפלה מתאפסת כשאחד הגורמים אפס: $x=2$ או $x=-5$.
29. $x=-2,\ x=5$ — מפרקים לגורמים: $(x-(-2))(x-(5))=0$, ולכן $x=-2$ או $x=5$.
30. $x<-1$ או $x>5$ — שורשים $x=-1,5$. פרבולה פתוחה למעלה, חיובית מחוץ לשורשים: $x<-1$ או $x>5$.