חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $\frac{3}{2x}$ — מכנה משותף $2x$: $\frac{2}{2x}+\frac{1}{2x}=\frac{3}{2x}$ ($x\neq0$).
2. $x^{4}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $x^{6}\div x^{2}=x^{6-2}=x^{4}$.
3. $m<4$ — $\Delta=16-4m>0\Rightarrow m<4$.
4. $x=7,\ x=-7$ — $x=\pm\sqrt{49}=\pm7$.
5. $x=3$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $8=2^{3}$. לכן $2^{x}=2^{3}$ ומכאן $x=3$.
6. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
7. $x=3$ — כפל צולב: $2(x+1)=4(x-1)\Rightarrow2x+2=4x-4\Rightarrow x=3$ ($x\neq\pm1$).
8. $x=5$ — ערך מוחלט אינו שלילי, ולכן רק $x=5$ מקיים.
9. $x=3,\ x=\frac{1}{2}$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=-7^2-4\cdot2\cdot(3)=25$. $x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{2\cdot2}$, כלומר $x=3$ או $x=\frac{1}{2}$.
10. $a^{3}b^{3}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(ab\right)^{3}=a^{3}b^{3}$.
11. $1<x<4$ — שורשים $x=1,4$. הביטוי שלילי בין השורשים: $1<x<4$.
12. $x=8,\ x=-2$ — $|x-3|=5$ נותן שני מקרים: $x-3=5$ או $x-3=-5$, ומכאן $x=8$ או $x=-2$.
13. $7.1\times 10^{6}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $7100000=7.1\times 10^{6}$.
14. $(3x-4)(3x+4)$ — הפרש ריבועים: $9x^2-16=(3x-4)(3x+4)$.
15. $6$ — כפל שורשים: $\sqrt{3}\cdot\sqrt{12}=\sqrt{3\cdot 12}=\sqrt{36}=6$.
16. $a^{2}b^{2}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(ab\right)^{2}=a^{2}b^{2}$.
17. $x=5,\ x=-1$ — מפרקים לגורמים: $(x-(5))(x-(-1))=0$, ולכן $x=5$ או $x=-1$.
18. $y^{5}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $4+2-1=5$, לכן התוצאה $y^{5}$.
19. $2$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2$.
20. $a^{6}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $5+3-2=6$, לכן התוצאה $a^{6}$.
21. $x<-6$ או $x>-2$ — שורשים $x=-6,-2$. פרבולה פתוחה למעלה, חיובית מחוץ לשורשים: $x<-6$ או $x>-2$.
22. $x=7,\ x=5$ — $|x-6|=1$ נותן שני מקרים: $x-6=1$ או $x-6=-1$, ומכאן $x=7$ או $x=5$.
23. $-3\leq x\leq 3$ — $|x|\leq3$ פירושו $-3\leq x\leq3$.
24. $10$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $1000^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{1000}=10$.
25. $x=6$ — מכנה משותף 6: $\frac{2x+x}{6}=3\Rightarrow3x=18\Rightarrow x=6$.
26. $(x-7)(x+7)$ — הפרש ריבועים: $x^2-49=(x-7)(x+7)$.
27. $3$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\dfrac{27}{3}}=\sqrt{9}=3$.
28. $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{5}$: $\dfrac{2}{\sqrt{5}}\cdot\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
29. $x=4,\ x=-4$ — $x^2=16\Rightarrow x=\pm4$.
30. $(x-4)^2$ — זהו ריבוע: $x^2-8x+16=(x-4)^2$.