חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $-3\leq x\leq 3$ — $x^2-9\leq0\Rightarrow(x-3)(x+3)\leq0\Rightarrow-3\leq x\leq3$.
2. $5$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{50}{2}}=\sqrt{25}=5$.
3. $a^{2}b^{2}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(ab\right)^{2}=a^{2}b^{2}$.
4. $30000$ — כתיב מדעי: $3\times 10^{4}=30000$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
5. $2$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $16^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{16}=2$.
6. $x+2$ — $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$, מצמצמים: $x+2$.
7. $-2<x<4$ — $-3<x-1<3$ ולכן $-2<x<4$.
8. $10$ — כפל שורשים: $\sqrt{5}\cdot\sqrt{20}=\sqrt{5\cdot 20}=\sqrt{100}=10$.
9. $(2x-3)(2x+3)$ — הפרש ריבועים: $4x^2-9=(2x-3)(2x+3)$.
10. $x=6$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $64=2^{6}$. לכן $2^{x}=2^{6}$ ומכאן $x=6$.
11. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
12. $x=\frac{1}{3},\ x=-2$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=5^2-4\cdot3\cdot(-2)=49$. $x=\frac{-5\pm\sqrt{49}}{2\cdot3}$, כלומר $x=\frac{1}{3}$ או $x=-2$.
13. $x=-6,\ x=2$ — מפרקים לגורמים: $(x-(-6))(x-(2))=0$, ולכן $x=-6$ או $x=2$.
14. $3\sqrt{2}$ — מפרקים את 18 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}$.
15. $x=3,\ y=2$ — חיבור המשוואות: $2x=6\Rightarrow x=3$, ואז $y=2$.
16. $x^2-4x+4$ — $(x-2)^2=x^2-4x+4$.
17. $x=4,\ x=-4$ — $x^2=16\Rightarrow x=\pm4$.
18. $x=2,\ x=-8$ — $|x+3|=5$ נותן שני מקרים: $x+3=5$ או $x+3=-5$, ומכאן $x=2$ או $x=-8$.
19. $3$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\dfrac{27}{3}}=\sqrt{9}=3$.
20. $\sqrt[3]{a^{4}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $a^{\frac{4}{3}}=\sqrt[3]{a^{4}}$.
21. $x=3,\ y=1$ — חיבור: $3x=9\Rightarrow x=3$, ואז $y=1$.
22. $\frac{3}{2x}$ — מכנה משותף $2x$: $\frac{2}{2x}+\frac{1}{2x}=\frac{3}{2x}$ ($x\neq0$).
23. $m>1$ — $\Delta=4-4m<0\Rightarrow m>1$.
24. $x=-1,\ x=-6$ — מפרקים לגורמים: $(x-(-1))(x-(-6))=0$, ולכן $x=-1$ או $x=-6$.
25. $m^{2}n^{2}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(mn\right)^{2}=m^{2}n^{2}$.
26. $\dfrac{1}{10}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $10^{-1}=\dfrac{1}{10^{1}}=\dfrac{1}{10}$.
27. $x=7$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $128=2^{7}$. לכן $2^{x}=2^{7}$ ומכאן $x=7$.
28. $3\sqrt{5}$ — מפרקים את 45 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt{5}$.
29. $7$ — לפי וייטה, סכום השורשים $=-\frac{b}{a}=-\frac{-7}{1}=7$.
30. $x^{9}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $x^{7}\cdot x^{2}=x^{7+2}=x^{9}$.