חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $0<x<4$ — שורשים $x=0,4$. הביטוי שלילי בין השורשים: $0<x<4$.
2. $x=5,\ x=-1$ — מפרקים לגורמים: $(x-(5))(x-(-1))=0$, ולכן $x=5$ או $x=-1$.
3. $x=9,\ x=1$ — $|x-5|=4$ נותן שני מקרים: $x-5=4$ או $x-5=-4$, ומכאן $x=9$ או $x=1$.
4. $6$ — כפל שורשים: $\sqrt{3}\cdot\sqrt{12}=\sqrt{3\cdot 12}=\sqrt{36}=6$.
5. $x=8$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $256=2^{8}$. לכן $2^{x}=2^{8}$ ומכאן $x=8$.
6. $4\sqrt{2}$ — מפרקים את 32 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=4\sqrt{2}$.
7. $3<x<8$ — שורשים $x=3,8$. הביטוי שלילי בין השורשים: $3<x<8$.
8. $10$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{200}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{200}{2}}=\sqrt{100}=10$.
9. $0<x<5$ — שורשים $x=0,5$. הביטוי שלילי בין השורשים: $0<x<5$.
10. $7\sqrt{2}$ — מפרקים את 98 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{98}=\sqrt{49\cdot 2}=7\sqrt{2}$.
11. $x>-3$ — $-2x<6$, חלוקה בשלילי הופכת: $x>-3$.
12. $5\times 10^{4}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $50000=5\times 10^{4}$.
13. $x=7,\ x=-7$ — $x=\pm\sqrt{49}=\pm7$.
14. $\sqrt[3]{a^{4}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $a^{\frac{4}{3}}=\sqrt[3]{a^{4}}$.
15. שני פתרונות — $\Delta=-7^2-4\cdot2\cdot(3)=25$. $\Delta>0$ ולכן שני פתרונות.
16. $5\sqrt{3}$ — מפרקים את 75 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3}$.
17. $4.5\times 10^{4}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $45000=4.5\times 10^{4}$.
18. $x\leq 3$ — $2x-2\geq3x-5\Rightarrow -x\geq-3\Rightarrow x\leq3$.
19. $3$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $9^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{9}=3$.
20. $x-2$ — $x^2-4=(x-2)(x+2)$, מצמצמים ב-$(x+2)$: $x-2$.
21. $10$ — כפל שורשים: $\sqrt{2}\cdot\sqrt{50}=\sqrt{2\cdot 50}=\sqrt{100}=10$.
22. $x^2-4x+4$ — $(x-2)^2=x^2-4x+4$.
23. $x=3$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 5: $125=5^{3}$. לכן $5^{x}=5^{3}$ ומכאן $x=3$.
24. $(x-1)(x+1)$ — הפרש ריבועים: $x^2-1=(x-1)(x+1)$.
25. $p^{8}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $p^{2}\cdot p^{6}=p^{2+6}=p^{8}$.
26. $\dfrac{1}{x^{5}}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $x^{-5}=\dfrac{1}{x^{5}}$.
27. $6.7\times 10^{5}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $670000=6.7\times 10^{5}$.
28. פתרון יחיד — $\Delta=-6^2-4\cdot3\cdot(3)=0$. $\Delta=0$ ולכן פתרון יחיד.
29. $x=-2,\ x=5$ — מפרקים לגורמים: $(x-(-2))(x-(5))=0$, ולכן $x=-2$ או $x=5$.
30. $x=2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 9: $81=9^{2}$. לכן $9^{x}=9^{2}$ ומכאן $x=2$.