חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $x\leq 3$ — $2x-2\geq3x-5\Rightarrow -x\geq-3\Rightarrow x\leq3$.
2. $\dfrac{1}{9}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $3^{-2}=\dfrac{1}{3^{2}}=\dfrac{1}{9}$.
3. $x=5,\ x=2$ — מפרקים לגורמים: $(x-(5))(x-(2))=0$, ולכן $x=5$ או $x=2$.
4. $1.2\times 10^{2}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $120=1.2\times 10^{2}$.
5. $(x-5)(x-8)$ — $5\cdot8=40$, $5+8=13$: $(x-5)(x-8)$.
6. $x=3$ — כפל צולב: $2(x+1)=4(x-1)\Rightarrow2x+2=4x-4\Rightarrow x=3$ ($x\neq\pm1$).
7. $x+3$ — $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$, מצמצמים: $x+3$.
8. $x+3$ — $x^2+7x+12=(x+3)(x+4)$, מצמצמים: $x+3$.
9. $10$ — כפל שורשים: $\sqrt{2}\cdot\sqrt{50}=\sqrt{2\cdot 50}=\sqrt{100}=10$.
10. $4\sqrt{2}$ — מפרקים את 32 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=4\sqrt{2}$.
11. $k^{12}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(k^{2}\right)^{6}=k^{2\cdot 6}=k^{12}$.
12. $x=4,\ y=2$ — הצבה: $2y+2y=8\Rightarrow y=2$, $x=4$.
13. $1200$ — כתיב מדעי: $1.2\times 10^{3}=1200$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
14. $\dfrac{1}{x^{5}}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $x^{-5}=\dfrac{1}{x^{5}}$.
15. $3$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $9^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{9}=3$.
16. $x=\frac{3}{2},\ x=-2$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=1^2-4\cdot2\cdot(-6)=49$. $x=\frac{-1\pm\sqrt{49}}{2\cdot2}$, כלומר $x=\frac{3}{2}$ או $x=-2$.
17. $10$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $1000^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{1000}=10$.
18. $x=8$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $256=2^{8}$. לכן $2^{x}=2^{8}$ ומכאן $x=8$.
19. $x+2$ — $x^2-2x-8=(x-4)(x+2)$, מצמצמים: $x+2$.
20. $x\neq -4$ — ערך מוחלט חיובי לכל $x$ פרט ל-$x=-4$.
21. $5\times 10^{4}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $50000=5\times 10^{4}$.
22. $\dfrac{1}{x^{1}}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $x^{-1}=\dfrac{1}{x^{1}}$.
23. $(x-6)^2$ — $x^2-12x+36=(x-6)^2$.
24. $\dfrac{1}{25}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $5^{-2}=\dfrac{1}{5^{2}}=\dfrac{1}{25}$.
25. $x=2,\ x=6$ — מפרקים לגורמים: $(x-(2))(x-(6))=0$, ולכן $x=2$ או $x=6$.
26. $(x-7)(x+7)$ — הפרש ריבועים: $x^2-49=(x-7)(x+7)$.
27. $x=-3,\ x=-5$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=8^2-4\cdot1\cdot(15)=4$. $x=\frac{-8\pm\sqrt{4}}{2\cdot1}$, כלומר $x=-3$ או $x=-5$.
28. $a^{8}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $a^{4}\cdot a^{4}=a^{4+4}=a^{8}$.
29. $m>36$ — $\Delta=144-4m<0\Rightarrow m>36$.
30. $8x^{3}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(2x\right)^{3}=8x^{3}$.