חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $(2x-3)(2x+3)$ — הפרש ריבועים: $4x^2-9=(2x-3)(2x+3)$.
2. $x=4,\ x=2$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=-6^2-4\cdot1\cdot(8)=4$. $x=\frac{6\pm\sqrt{4}}{2\cdot1}$, כלומר $x=4$ או $x=2$.
3. $7$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $49^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{49}=7$.
4. $3$ — $3x-12=3(x-4)$, מצמצמים: $3$.
5. $x=4,\ x=-6$ — מפרקים לגורמים: $(x-(4))(x-(-6))=0$, ולכן $x=4$ או $x=-6$.
6. $x^{7}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $x^{6}\cdot x^{1}=x^{6+1}=x^{7}$.
7. $x=3,\ x=-3$ — $|x|=3$ נותן שני מקרים: $x=3$ או $x=-3$, ומכאן $x=3$ או $x=-3$.
8. $m>36$ — $\Delta=144-4m<0\Rightarrow m>36$.
9. $0<x<5$ — שורשים $x=0,5$. הביטוי שלילי בין השורשים: $0<x<5$.
10. $x=-5,\ x=3$ — מפרקים לגורמים: $(x-(-5))(x-(3))=0$, ולכן $x=-5$ או $x=3$.
11. $x^{4}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $x^{8}\div x^{4}=x^{8-4}=x^{4}$.
12. $x=4$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $16=2^{4}$. לכן $2^{x}=2^{4}$ ומכאן $x=4$.
13. $x<3$ — $-x>-3\Rightarrow x<3$.
14. $\dfrac{1}{16}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $4^{-2}=\dfrac{1}{4^{2}}=\dfrac{1}{16}$.
15. $x+3$ — $x^2-9=(x-3)(x+3)$, מצמצמים ב-$(x-3)$ ($x\neq3$): $x+3$.
16. $0<x<4$ — שורשים $x=0,4$. הביטוי שלילי בין השורשים: $0<x<4$.
17. $x=7,\ x=-2$ — מפרקים לגורמים: $(x-(7))(x-(-2))=0$, ולכן $x=7$ או $x=-2$.
18. $m=10 \text{ או } m=-10$ — $\Delta=m^2-100=0\Rightarrow m=\pm10$.
19. $(x-4)^2$ — זהו ריבוע: $x^2-8x+16=(x-4)^2$.
20. $10$ — לפי וייטה, מכפלת השורשים $=\frac{c}{a}=10$.
21. $4$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $64^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{64}=4$.
22. $x=6$ — $x+2=2(x-2)=2x-4\Rightarrow x=6$ ($x\neq2$).
23. $x^2-4x+4$ — $(x-2)^2=x^2-4x+4$.
24. $a^{8}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $a^{4}\cdot a^{4}=a^{4+4}=a^{8}$.
25. $x=4,\ y=2$ — הצבה: $2y+2y=8\Rightarrow y=2$, $x=4$.
26. $1<x<7$ — שורשים $x=1,7$. הביטוי שלילי בין השורשים: $1<x<7$.
27. $t^{5}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $t^{7}\div t^{2}=t^{7-2}=t^{5}$.
28. פתרון יחיד — $\Delta=-4^2-4\cdot1\cdot(4)=0$. $\Delta=0$ ולכן פתרון יחיד.
29. $x\geq 4$ — $3x\geq12\Rightarrow x\geq4$.
30. $m^{8}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(m^{2}\right)^{4}=m^{2\cdot 4}=m^{8}$.