חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $x^{9}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $x^{7}\cdot x^{2}=x^{7+2}=x^{9}$.
2. $\sqrt[2]{y^{3}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $y^{\frac{3}{2}}=\sqrt[2]{y^{3}}$.
3. $x=5,\ y=3$ — $x=y+2$: $(y+2)y=15\Rightarrow y^2+2y-15=0\Rightarrow(y+5)(y-3)=0$, $y=3$ נותן $x=5$.
4. $p^{16}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(p^{4}\right)^{4}=p^{4\cdot 4}=p^{16}$.
5. $x^{7}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $x^{6}\cdot x^{1}=x^{6+1}=x^{7}$.
6. $x=6$ — כופלים פנים-חוץ: $4(x-3)=2x\Rightarrow4x-12=2x\Rightarrow2x=12\Rightarrow x=6$.
7. $5\sqrt{2}$ — מפרקים את 50 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$.
8. $x=10,\ x=-8$ — $|x-1|=9$ נותן שני מקרים: $x-1=9$ או $x-1=-9$, ומכאן $x=10$ או $x=-8$.
9. $3$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{18}{2}}=\sqrt{9}=3$.
10. $6$ — כפל שורשים: $\sqrt{2}\cdot\sqrt{18}=\sqrt{2\cdot 18}=\sqrt{36}=6$.
11. $3$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $9^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{9}=3$.
12. $y^{5}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $y^{6}\div y^{1}=y^{6-1}=y^{5}$.
13. $x=7,\ x=-2$ — מפרקים לגורמים: $(x-(7))(x-(-2))=0$, ולכן $x=7$ או $x=-2$.
14. $1200$ — כתיב מדעי: $1.2\times 10^{3}=1200$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
15. $4x^2+4x+1$ — $(2x+1)^2=4x^2+2\cdot2x+1=4x^2+4x+1$.
16. $x=3,\ y=4$ — חיבור: $4x=12\Rightarrow x=3$, $y=4$.
17. $x<-3$ או $x>2$ — שורשים $x=-3,2$. פרבולה פתוחה למעלה, חיובית מחוץ לשורשים: $x<-3$ או $x>2$.
18. $x=4,\ y=2$ — $x=2y$, ואז $6y+y=14\Rightarrow y=2$, $x=4$.
19. $x=3,\ y=1$ — חיבור: $3x=9\Rightarrow x=3$, ואז $y=1$.
20. $10$ — כפל שורשים: $\sqrt{5}\cdot\sqrt{20}=\sqrt{5\cdot 20}=\sqrt{100}=10$.
21. $9a^{2}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(3a\right)^{2}=9a^{2}$.
22. $\dfrac{1}{y^{2}}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $y^{-2}=\dfrac{1}{y^{2}}$.
23. $x=3,\ x=-2$ — כופלים ב-$2x$: $x^2-6=x\Rightarrow x^2-x-6=0\Rightarrow(x-3)(x+2)=0$, $x\neq0$.
24. $x=\frac{3}{2},\ x=\frac{-1}{2}$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=-4^2-4\cdot4\cdot(-3)=64$. $x=\frac{4\pm\sqrt{64}}{2\cdot4}$, כלומר $x=\frac{3}{2}$ או $x=\frac{-1}{2}$.
25. $6\sqrt{2}$ — מפרקים את 72 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}$.
26. $a^{2}b^{2}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(ab\right)^{2}=a^{2}b^{2}$.
27. $\dfrac{1}{2}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $2^{-1}=\dfrac{1}{2^{1}}=\dfrac{1}{2}$.
28. $a^{7}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $a^{5}\cdot a^{2}=a^{5+2}=a^{7}$.
29. $25x^{2}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(5x\right)^{2}=25x^{2}$.
30. $x=9,\ x=-5$ — $|x-2|=7$ נותן שני מקרים: $x-2=7$ או $x-2=-7$, ומכאן $x=9$ או $x=-5$.