חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $x<-1$ או $x>5$ — שורשים $x=-1,5$. פרבולה פתוחה למעלה, חיובית מחוץ לשורשים: $x<-1$ או $x>5$.
2. $-3\leq x\leq 3$ — $|x|\leq3$ פירושו $-3\leq x\leq3$.
3. $x=\frac{3}{2},\ x=-2$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=1^2-4\cdot2\cdot(-6)=49$. $x=\frac{-1\pm\sqrt{49}}{2\cdot2}$, כלומר $x=\frac{3}{2}$ או $x=-2$.
4. $\dfrac{1\sqrt{3}}{3}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{3}$: $\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{1\sqrt{3}}{3}=\dfrac{1\sqrt{3}}{3}$.
5. $x=8,\ x=-8$ — $|x|=8\Rightarrow x=8$ או $x=-8$.
6. $p^{16}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(p^{4}\right)^{4}=p^{4\cdot 4}=p^{16}$.
7. $x=5,\ y=3$ — $x=y+2$: $(y+2)y=15\Rightarrow y^2+2y-15=0\Rightarrow(y+5)(y-3)=0$, $y=3$ נותן $x=5$.
8. $x+4$ — $x^2-16=(x-4)(x+4)$, מצמצמים: $x+4$.
9. $x^{4}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $6+1-3=4$, לכן התוצאה $x^{4}$.
10. $p^{4}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $p^{5}\div p^{1}=p^{5-1}=p^{4}$.
11. $x^2-25$ — הפרש ריבועים: $(x+5)(x-5)=x^2-25$.
12. $x^{10}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(x^{5}\right)^{2}=x^{5\cdot 2}=x^{10}$.
13. $m<9$ — $\Delta=36-4m>0\Rightarrow m<9$.
14. $x=3,\ y=1$ — חיבור: $3x=9\Rightarrow x=3$, ואז $y=1$.
15. $x-2$ — $x^2-4=(x-2)(x+2)$, מצמצמים ב-$(x+2)$: $x-2$.
16. $x=-3,\ x=-5$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=8^2-4\cdot1\cdot(15)=4$. $x=\frac{-8\pm\sqrt{4}}{2\cdot1}$, כלומר $x=-3$ או $x=-5$.
17. $4$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $16^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{16}=4$.
18. $7\sqrt{2}$ — מפרקים את 98 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{98}=\sqrt{49\cdot 2}=7\sqrt{2}$.
19. $\dfrac{1}{9}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $3^{-2}=\dfrac{1}{3^{2}}=\dfrac{1}{9}$.
20. $m=10 \text{ או } m=-10$ — $\Delta=m^2-100=0\Rightarrow m=\pm10$.
21. $(x+5)^2$ — זהו ריבוע: $x^2+10x+25=(x+5)^2$.
22. $6$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{72}{2}}=\sqrt{36}=6$.
23. $4.5\times 10^{4}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $45000=4.5\times 10^{4}$.
24. $m>36$ — $\Delta=144-4m<0\Rightarrow m>36$.
25. $3$ — $3x-12=3(x-4)$, מצמצמים: $3$.
26. $x=6,\ x=2$ — $|x-4|=2$ נותן שני מקרים: $x-4=2$ או $x-4=-2$, ומכאן $x=6$ או $x=2$.
27. $(3x-4)(3x+4)$ — הפרש ריבועים: $9x^2-16=(3x-4)(3x+4)$.
28. $x=3,\ x=-7$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=4^2-4\cdot1\cdot(-21)=100$. $x=\frac{-4\pm\sqrt{100}}{2\cdot1}$, כלומר $x=3$ או $x=-7$.
29. $1.2\times 10^{2}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $120=1.2\times 10^{2}$.
30. $4$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\dfrac{48}{3}}=\sqrt{16}=4$.