חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $(x+4)(x-3)$ — $4\cdot(-3)=-12$, $4+(-3)=1$: $(x+4)(x-3)$.
2. $x=2,\ x=-5$ — מכפלה מתאפסת כשאחד הגורמים אפס: $x=2$ או $x=-5$.
3. $5$ — כפל שורשים: $\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=\sqrt{5\cdot 5}=\sqrt{25}=5$.
4. $6.7\times 10^{5}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $670000=6.7\times 10^{5}$.
5. $x^{14}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(x^{2}\right)^{7}=x^{2\cdot 7}=x^{14}$.
6. $7$ — לפי וייטה, סכום השורשים $=-\frac{b}{a}=-\frac{-7}{1}=7$.
7. $x=2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 4: $16=4^{2}$. לכן $4^{x}=4^{2}$ ומכאן $x=2$.
8. $x<-3$ או $x>3$ — שורשים $x=-3,3$. פרבולה פתוחה למעלה, חיובית מחוץ לשורשים: $x<-3$ או $x>3$.
9. $x=9,\ x=1$ — $|x-5|=4$ נותן שני מקרים: $x-5=4$ או $x-5=-4$, ומכאן $x=9$ או $x=1$.
10. $250$ — כתיב מדעי: $2.5\times 10^{2}=250$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
11. פתרון יחיד — $\Delta=2^2-4\cdot1\cdot(1)=0$. $\Delta=0$ ולכן פתרון יחיד.
12. $2\sqrt{2}$ — מפרקים את 8 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}$.
13. $k^{3}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $k^{8}\div k^{5}=k^{8-5}=k^{3}$.
14. $m=8 \text{ או } m=-8$ — $\Delta=m^2-64=0\Rightarrow m=\pm8$.
15. $9$ — כפל שורשים: $\sqrt{3}\cdot\sqrt{27}=\sqrt{3\cdot 27}=\sqrt{81}=9$.
16. $x=-3,\ x=-4$ — מפרקים לגורמים: $(x-(-3))(x-(-4))=0$, ולכן $x=-3$ או $x=-4$.
17. $\sqrt[4]{a^{1}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $a^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{a^{1}}$.
18. $x<-3$ — $3x<-9\Rightarrow x<-3$.
19. $(x+3)(x^2-3x+9)$ — סכום קוביות: $x^3+27=(x+3)(x^2-3x+9)$.
20. $x=-1,\ x=-6$ — מפרקים לגורמים: $(x-(-1))(x-(-6))=0$, ולכן $x=-1$ או $x=-6$.
21. $10$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{200}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{200}{2}}=\sqrt{100}=10$.
22. $x=3$ — כפל צולב: $2x=x+3\Rightarrow x=3$ ($x\neq-3$).
23. $x^2-25$ — הפרש ריבועים: $(x+5)(x-5)=x^2-25$.
24. $x=2,\ x=-8$ — $|x+3|=5$ נותן שני מקרים: $x+3=5$ או $x+3=-5$, ומכאן $x=2$ או $x=-8$.
25. $6$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $36^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{36}=6$.
26. $\dfrac{1\sqrt{7}}{7}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{7}$: $\dfrac{1}{\sqrt{7}}\cdot\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=\dfrac{1\sqrt{7}}{7}=\dfrac{1\sqrt{7}}{7}$.
27. $-6\leq x\leq 2$ — $-4\leq x+2\leq4$ ולכן $-6\leq x\leq2$.
28. $k=-7$ — מציבים $x=3$: $9+3k+12=0\Rightarrow3k=-21\Rightarrow k=-7$.
29. $x=1$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 3: $3=3^{1}$. לכן $3^{x}=3^{1}$ ומכאן $x=1$.
30. $x=-2,\ x=5$ — מפרקים לגורמים: $(x-(-2))(x-(5))=0$, ולכן $x=-2$ או $x=5$.