חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $10$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{200}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{200}{2}}=\sqrt{100}=10$.
2. $x=4,\ x=-4$ — $x^2=16\Rightarrow x=\pm4$.
3. $\dfrac{1\sqrt{2}}{2}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{2}$: $\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{1\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1\sqrt{2}}{2}$.
4. $x=5,\ x=4$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=-9^2-4\cdot1\cdot(20)=1$. $x=\frac{9\pm\sqrt{1}}{2\cdot1}$, כלומר $x=5$ או $x=4$.
5. $(x+3)(x^2-3x+9)$ — סכום קוביות: $x^3+27=(x+3)(x^2-3x+9)$.
6. $m>1$ — $\Delta=4-4m<0\Rightarrow m>1$.
7. $x=5,\ y=3$ — $x=y+2$: $(y+2)y=15\Rightarrow y^2+2y-15=0\Rightarrow(y+5)(y-3)=0$, $y=3$ נותן $x=5$.
8. $x^{1}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $3+2-4=1$, לכן התוצאה $x^{1}$.
9. $k^{12}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(k^{2}\right)^{6}=k^{2\cdot 6}=k^{12}$.
10. $t^{7}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $t^{3}\cdot t^{4}=t^{3+4}=t^{7}$.
11. $x^{4}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $6+1-3=4$, לכן התוצאה $x^{4}$.
12. $\frac{3}{2x}$ — מכנה משותף $2x$: $\frac{2}{2x}+\frac{1}{2x}=\frac{3}{2x}$ ($x\neq0$).
13. $x=3$ — כופלים ב-$x$, $x\neq0$: $6=2x\Rightarrow x=3$.
14. $m=10 \text{ או } m=-10$ — $\Delta=m^2-100=0\Rightarrow m=\pm10$.
15. $5000$ — כתיב מדעי: $5\times 10^{3}=5000$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
16. $x=-2,\ x=-3$ — מפרקים לגורמים: $(x-(-2))(x-(-3))=0$, ולכן $x=-2$ או $x=-3$.
17. $x=4$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 3: $81=3^{4}$. לכן $3^{x}=3^{4}$ ומכאן $x=4$.
18. $6$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{72}{2}}=\sqrt{36}=6$.
19. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{3}$: $\dfrac{2}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.
20. $x=2,\ x=-8$ — $|x+3|=5$ נותן שני מקרים: $x+3=5$ או $x+3=-5$, ומכאן $x=2$ או $x=-8$.
21. $x\geq 2$ או $x\leq -4$ — $x+1\geq3$ או $x+1\leq-3$ ולכן $x\geq2$ או $x\leq-4$.
22. $x=\frac{3}{2},\ x=-2$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=1^2-4\cdot2\cdot(-6)=49$. $x=\frac{-1\pm\sqrt{49}}{2\cdot2}$, כלומר $x=\frac{3}{2}$ או $x=-2$.
23. $9$ — כפל שורשים: $\sqrt{3}\cdot\sqrt{27}=\sqrt{3\cdot 27}=\sqrt{81}=9$.
24. $x-5$ — $x^2-25=(x-5)(x+5)$, מצמצמים: $x-5$.
25. $x=8,\ x=-2$ — $|x-3|=5$ נותן שני מקרים: $x-3=5$ או $x-3=-5$, ומכאן $x=8$ או $x=-2$.
26. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
27. $\dfrac{1}{10}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $10^{-1}=\dfrac{1}{10^{1}}=\dfrac{1}{10}$.
28. $t^{5}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $t^{7}\div t^{2}=t^{7-2}=t^{5}$.
29. $y^{7}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $y^{2}\cdot y^{5}=y^{2+5}=y^{7}$.
30. $x\neq -4$ — ערך מוחלט חיובי לכל $x$ פרט ל-$x=-4$.