חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{5}$: $\dfrac{2}{\sqrt{5}}\cdot\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
2. $x=4,\ x=-1$ — מפרקים לגורמים: $(x-(4))(x-(-1))=0$, ולכן $x=4$ או $x=-1$.
3. $m=10 \text{ או } m=-10$ — $\Delta=m^2-100=0\Rightarrow m=\pm10$.
4. $x=3,\ y=2$ — חיבור המשוואות: $2x=6\Rightarrow x=3$, ואז $y=2$.
5. $9.6\times 10^{3}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $9600=9.6\times 10^{3}$.
6. $3$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\dfrac{27}{3}}=\sqrt{9}=3$.
7. $a^{15}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(a^{5}\right)^{3}=a^{5\cdot 3}=a^{15}$.
8. $m<16$ — $\Delta=64-4m>0\Rightarrow m<16$.
9. $a^{4}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $a^{7}\div a^{3}=a^{7-3}=a^{4}$.
10. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
11. $m<9$ — $\Delta=36-4m>0\Rightarrow m<9$.
12. $x=2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 9: $81=9^{2}$. לכן $9^{x}=9^{2}$ ומכאן $x=2$.
13. $1.2\times 10^{2}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $120=1.2\times 10^{2}$.
14. $4$ — כפל שורשים: $\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}=\sqrt{2\cdot 8}=\sqrt{16}=4$.
15. $x=1,\ x=4$ — מפרקים לגורמים: $(x-(1))(x-(4))=0$, ולכן $x=1$ או $x=4$.
16. $\dfrac{1}{10}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $10^{-1}=\dfrac{1}{10^{1}}=\dfrac{1}{10}$.
17. $x=2,\ x=-5$ — מכפלה מתאפסת כשאחד הגורמים אפס: $x=2$ או $x=-5$.
18. $x\geq 6$ — $\frac{x}{2}\geq3\Rightarrow x\geq6$.
19. $a^{10}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(a^{2}\right)^{5}=a^{2\cdot 5}=a^{10}$.
20. $2$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2$.
21. $x\geq 3$ — $-x\leq-3\Rightarrow x\geq3$.
22. $a^{6}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $a^{3}\cdot a^{3}=a^{3+3}=a^{6}$.
23. $700000$ — כתיב מדעי: $7\times 10^{5}=700000$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
24. $x+2$ — $x^2-2x-8=(x-4)(x+2)$, מצמצמים: $x+2$.
25. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
26. $5\sqrt{3}$ — מפרקים את 75 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3}$.
27. $7$ — כפל שורשים: $\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}=\sqrt{7\cdot 7}=\sqrt{49}=7$.
28. $-1\leq x\leq 5$ — $-9\leq3x-6\leq9\Rightarrow-3\leq3x... \Rightarrow-1\leq x\leq5$.
29. $8500$ — כתיב מדעי: $8.5\times 10^{3}=8500$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
30. $6.7\times 10^{5}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $670000=6.7\times 10^{5}$.