חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $7$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{98}{2}}=\sqrt{49}=7$.
2. $x\geq 3$ — $-x\leq-3\Rightarrow x\geq3$.
3. $m<9$ — $\Delta=36-4m>0\Rightarrow m<9$.
4. $x^2-25$ — הפרש ריבועים: $(x+5)(x-5)=x^2-25$.
5. $m>1$ — $\Delta=4-4m<0\Rightarrow m>1$.
6. $x=3$ — כפל צולב: $4(x-1)=2(x+1)\Rightarrow4x-4=2x+2\Rightarrow x=3$ ($x\neq\pm1$).
7. $5$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\dfrac{75}{3}}=\sqrt{25}=5$.
8. $x=-3,\ x=-5$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=8^2-4\cdot1\cdot(15)=4$. $x=\frac{-8\pm\sqrt{4}}{2\cdot1}$, כלומר $x=-3$ או $x=-5$.
9. $t^{12}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(t^{4}\right)^{3}=t^{4\cdot 3}=t^{12}$.
10. $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{5}$: $\dfrac{2}{\sqrt{5}}\cdot\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
11. $2$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2$.
12. $x\geq 3$ — $-2x\leq-6$, הופכים: $x\geq3$.
13. $x+2$ — $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$, מצמצמים: $x+2$.
14. $x=9,\ x=1$ — $|x-5|=4$ נותן שני מקרים: $x-5=4$ או $x-5=-4$, ומכאן $x=9$ או $x=1$.
15. $x=1$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $2=2^{1}$. לכן $2^{x}=2^{1}$ ומכאן $x=1$.
16. $6.7\times 10^{5}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $670000=6.7\times 10^{5}$.
17. $3.4\times 10^{2}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $340=3.4\times 10^{2}$.
18. $(x-4)^2$ — זהו ריבוע: $x^2-8x+16=(x-4)^2$.
19. $x=-3,\ x=1$ — מפרקים לגורמים: $(x-(-3))(x-(1))=0$, ולכן $x=-3$ או $x=1$.
20. שני פתרונות — $\Delta=-1^2-4\cdot1\cdot(-6)=25$. $\Delta>0$ ולכן שני פתרונות.
21. $1.2\times 10^{2}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $120=1.2\times 10^{2}$.
22. $\sqrt[2]{x^{1}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $x^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{x^{1}}$.
23. $x=3$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 5: $125=5^{3}$. לכן $5^{x}=5^{3}$ ומכאן $x=3$.
24. $x=3$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 3: $27=3^{3}$. לכן $3^{x}=3^{3}$ ומכאן $x=3$.
25. $10\sqrt{2}$ — מפרקים את 200 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{200}=\sqrt{100\cdot 2}=10\sqrt{2}$.
26. $\dfrac{1}{27}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $3^{-3}=\dfrac{1}{3^{3}}=\dfrac{1}{27}$.
27. $6$ — כפל שורשים: $\sqrt{2}\cdot\sqrt{18}=\sqrt{2\cdot 18}=\sqrt{36}=6$.
28. $x^{10}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(x^{5}\right)^{2}=x^{5\cdot 2}=x^{10}$.
29. $m<4$ — $\Delta=16-4m>0\Rightarrow m<4$.
30. פתרון יחיד — $\Delta=-4^2-4\cdot1\cdot(4)=0$. $\Delta=0$ ולכן פתרון יחיד.