חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $8500$ — כתיב מדעי: $8.5\times 10^{3}=8500$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
2. $4\sqrt{3}$ — מפרקים את 48 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}$.
3. $5$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\dfrac{75}{3}}=\sqrt{25}=5$.
4. $1200$ — כתיב מדעי: $1.2\times 10^{3}=1200$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
5. $x=-3,\ x=-4$ — מפרקים לגורמים: $(x-(-3))(x-(-4))=0$, ולכן $x=-3$ או $x=-4$.
6. אין פתרונות ממשיים — $\Delta=2^2-4\cdot1\cdot(5)=-16$. $\Delta<0$ ולכן אין פתרונות ממשיים.
7. $x=3,\ y=4$ או $x=-4,\ y=-3$ — $x^2+(x+1)^2=25\Rightarrow2x^2+2x-24=0\Rightarrow x^2+x-12=0\Rightarrow(x-3)(x+4)=0$.
8. $6$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{72}{2}}=\sqrt{36}=6$.
9. $\dfrac{1}{2}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $2^{-1}=\dfrac{1}{2^{1}}=\dfrac{1}{2}$.
10. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
11. $x=0,\ x=5$ — מוציאים $x$: $x(x-5)=0\Rightarrow x=0$ או $x=5$.
12. $k^{12}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(k^{2}\right)^{6}=k^{2\cdot 6}=k^{12}$.
13. $a^{3}b^{3}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(ab\right)^{3}=a^{3}b^{3}$.
14. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
15. $3.4\times 10^{2}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $340=3.4\times 10^{2}$.
16. $m=4 \text{ או } m=-4$ — $\Delta=m^2-16=0\Rightarrow m=\pm4$.
17. $x=3,\ x=-2$ — כופלים ב-$2x$: $x^2-6=x\Rightarrow x^2-x-6=0\Rightarrow(x-3)(x+2)=0$, $x\neq0$.
18. $7$ — כפל שורשים: $\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}=\sqrt{7\cdot 7}=\sqrt{49}=7$.
19. $(x-3)^2$ — $x^2-6x+9=(x-3)^2$.
20. $\dfrac{1}{9}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $3^{-2}=\dfrac{1}{3^{2}}=\dfrac{1}{9}$.
21. $-6\leq x\leq 2$ — $-4\leq x+2\leq4$ ולכן $-6\leq x\leq2$.
22. אין פתרון — לא ייתכן שסכום אחד יהיה גם 4 וגם 7 — אין פתרון.
23. $1.2\times 10^{2}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $120=1.2\times 10^{2}$.
24. $(x+5)^2$ — זהו ריבוע: $x^2+10x+25=(x+5)^2$.
25. $a^{8}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $a^{4}\cdot a^{4}=a^{4+4}=a^{8}$.
26. $x=4$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $16=2^{4}$. לכן $2^{x}=2^{4}$ ומכאן $x=4$.
27. $m>36$ — $\Delta=144-4m<0\Rightarrow m>36$.
28. $3$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $243^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{243}=3$.
29. $x=7$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $128=2^{7}$. לכן $2^{x}=2^{7}$ ומכאן $x=7$.
30. $4$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\dfrac{48}{3}}=\sqrt{16}=4$.