חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $x=4,\ y=6$ — חיבור: $3x=12\Rightarrow x=4$, $y=6$.
2. $x=7,\ x=-7$ — $x=\pm\sqrt{49}=\pm7$.
3. $x=3$ — כפל צולב: $4(x-1)=2(x+1)\Rightarrow4x-4=2x+2\Rightarrow x=3$ ($x\neq\pm1$).
4. $\dfrac{1}{2}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $2^{-1}=\dfrac{1}{2^{1}}=\dfrac{1}{2}$.
5. $2$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2$.
6. $x\geq 2$ או $x\leq -4$ — $x+1\geq3$ או $x+1\leq-3$ ולכן $x\geq2$ או $x\leq-4$.
7. $x=2,\ y=4$ או $x=-1,\ y=1$ — $x^2=x+2\Rightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow(x-2)(x+1)=0$.
8. $x=-1,\ x=-6$ — מפרקים לגורמים: $(x-(-1))(x-(-6))=0$, ולכן $x=-1$ או $x=-6$.
9. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{3}$: $\dfrac{2}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.
10. $x^{4}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $x^{6}\div x^{2}=x^{6-2}=x^{4}$.
11. $1200$ — כתיב מדעי: $1.2\times 10^{3}=1200$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
12. $x=3,\ y=1$ — חיבור: $3x=9\Rightarrow x=3$, ואז $y=1$.
13. $x=6,\ x=1$ — מפרקים לגורמים: $(x-(6))(x-(1))=0$, ולכן $x=6$ או $x=1$.
14. $k^{12}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(k^{2}\right)^{6}=k^{2\cdot 6}=k^{12}$.
15. $x=-5,\ x=3$ — מפרקים לגורמים: $(x-(-5))(x-(3))=0$, ולכן $x=-5$ או $x=3$.
16. $\sqrt[5]{x^{1}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $x^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{x^{1}}$.
17. $1\sqrt{5}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{5}$: $\dfrac{5}{\sqrt{5}}\cdot\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{5\sqrt{5}}{5}=1\sqrt{5}$.
18. $x=3,\ x=-3$ — $x^2=9\Rightarrow x=\pm3$.
19. $5$ — כפל שורשים: $\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=\sqrt{5\cdot 5}=\sqrt{25}=5$.
20. $6\sqrt{2}$ — מפרקים את 72 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}$.
21. $3$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $243^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{243}=3$.
22. $2\sqrt{2}$ — מפרקים את 8 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}$.
23. $a^{10}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(a^{2}\right)^{5}=a^{2\cdot 5}=a^{10}$.
24. $x^2-4x+4$ — $(x-2)^2=x^2-4x+4$.
25. $\sqrt[5]{m^{2}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $m^{\frac{2}{5}}=\sqrt[5]{m^{2}}$.
26. $x=8$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $256=2^{8}$. לכן $2^{x}=2^{8}$ ומכאן $x=8$.
27. אין פתרונות ממשיים — $\Delta=2^2-4\cdot1\cdot(5)=-16$. $\Delta<0$ ולכן אין פתרונות ממשיים.
28. $2\sqrt{2}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{2}$: $\dfrac{4}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$.
29. $5$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{50}{2}}=\sqrt{25}=5$.
30. $x=2,\ x=-8$ — $|x+3|=5$ נותן שני מקרים: $x+3=5$ או $x+3=-5$, ומכאן $x=2$ או $x=-8$.