חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $x<-2$ או $x>3$ — שורשים $x=-2,3$. פרבולה פתוחה למעלה, חיובית מחוץ לשורשים: $x<-2$ או $x>3$.
2. $x=2,\ y=3$ — חיבור: $6x=12\Rightarrow x=2$, $y=3$.
3. $x\leq 3$ — $2x\leq6\Rightarrow x\leq3$.
4. $x<3$ — $-x>-3\Rightarrow x<3$.
5. $3<x<8$ — שורשים $x=3,8$. הביטוי שלילי בין השורשים: $3<x<8$.
6. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
7. $\dfrac{1}{9}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $3^{-2}=\dfrac{1}{3^{2}}=\dfrac{1}{9}$.
8. $x=5,\ x=4$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=-9^2-4\cdot1\cdot(20)=1$. $x=\frac{9\pm\sqrt{1}}{2\cdot1}$, כלומר $x=5$ או $x=4$.
9. $x-5$ — $x^2-25=(x-5)(x+5)$, מצמצמים: $x-5$.
10. $8$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $64^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{64}=8$.
11. $x=8,\ x=-8$ — $|x|=8\Rightarrow x=8$ או $x=-8$.
12. $x\geq 4$ — $3x\geq12\Rightarrow x\geq4$.
13. $x=2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 7: $49=7^{2}$. לכן $7^{x}=7^{2}$ ומכאן $x=2$.
14. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
15. $m^{7}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $m^{1}\cdot m^{6}=m^{1+6}=m^{7}$.
16. $a^{6}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $a^{10}\div a^{4}=a^{10-4}=a^{6}$.
17. $x<-3$ — $3x<-9\Rightarrow x<-3$.
18. $x^{10}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $x^{5}\cdot x^{5}=x^{5+5}=x^{10}$.
19. $x-2$ — $x^2-4=(x-2)(x+2)$, מצמצמים ב-$(x+2)$: $x-2$.
20. $x=9,\ x=1$ — $|x-5|=4$ נותן שני מקרים: $x-5=4$ או $x-5=-4$, ומכאן $x=9$ או $x=1$.
21. $x+2$ — $x^2-2x-8=(x-4)(x+2)$, מצמצמים: $x+2$.
22. $x=-2,\ x=-3$ — מפרקים לגורמים: $(x-(-2))(x-(-3))=0$, ולכן $x=-2$ או $x=-3$.
23. $90000$ — כתיב מדעי: $9\times 10^{4}=90000$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
24. $x<3$ — $-3x>-9\Rightarrow x<3$.
25. $\dfrac{1\sqrt{5}}{5}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{5}$: $\dfrac{1}{\sqrt{5}}\cdot\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{1\sqrt{5}}{5}=\dfrac{1\sqrt{5}}{5}$.
26. $(x-7)(x+7)$ — הפרש ריבועים: $x^2-49=(x-7)(x+7)$.
27. $m<9$ — $\Delta=36-4m>0\Rightarrow m<9$.
28. $10$ — כפל שורשים: $\sqrt{5}\cdot\sqrt{20}=\sqrt{5\cdot 20}=\sqrt{100}=10$.
29. $\dfrac{1}{a^{4}}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $a^{-4}=\dfrac{1}{a^{4}}$.
30. $m<9$ — $\Delta=36-4m>0\Rightarrow m<9$.