חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $-3\leq x\leq 3$ — $|x|\leq3$ פירושו $-3\leq x\leq3$.
2. $(x-1)(x+1)$ — הפרש ריבועים: $x^2-1=(x-1)(x+1)$.
3. $x-5$ — $x^2-25=(x-5)(x+5)$, מצמצמים: $x-5$.
4. $x=2,\ x=3$ — מפרקים לגורמים: $(x-(2))(x-(3))=0$, ולכן $x=2$ או $x=3$.
5. $x=8,\ x=-8$ — $|x|=8\Rightarrow x=8$ או $x=-8$.
6. $1<x<4$ — שורשים $x=1,4$. הביטוי שלילי בין השורשים: $1<x<4$.
7. $\dfrac{1}{a^{4}}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $a^{-4}=\dfrac{1}{a^{4}}$.
8. $x^2+6x+9$ — $(x+3)^2=x^2+2\cdot3x+9=x^2+6x+9$.
9. $x=3$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 10: $1000=10^{3}$. לכן $10^{x}=10^{3}$ ומכאן $x=3$.
10. אין פתרונות ממשיים — $\Delta=1^2-4\cdot1\cdot(3)=-11$. $\Delta<0$ ולכן אין פתרונות ממשיים.
11. שני פתרונות — $\Delta=-7^2-4\cdot2\cdot(3)=25$. $\Delta>0$ ולכן שני פתרונות.
12. אין פתרונות ממשיים — $\Delta=2^2-4\cdot1\cdot(5)=-16$. $\Delta<0$ ולכן אין פתרונות ממשיים.
13. $x^{13}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $10+5-2=13$, לכן התוצאה $x^{13}$.
14. $\dfrac{1}{7}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $7^{-1}=\dfrac{1}{7^{1}}=\dfrac{1}{7}$.
15. $x=5,\ y=3$ — $x=y+2$: $(y+2)y=15\Rightarrow y^2+2y-15=0\Rightarrow(y+5)(y-3)=0$, $y=3$ נותן $x=5$.
16. $3$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $9^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{9}=3$.
17. $10000000$ — כתיב מדעי: $1\times 10^{7}=10000000$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
18. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
19. $2\sqrt{2}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{2}$: $\dfrac{4}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$.
20. $x=3,\ x=-5$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=2^2-4\cdot1\cdot(-15)=64$. $x=\frac{-2\pm\sqrt{64}}{2\cdot1}$, כלומר $x=3$ או $x=-5$.
21. $p^{16}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(p^{4}\right)^{4}=p^{4\cdot 4}=p^{16}$.
22. $(x+3)(x^2-3x+9)$ — סכום קוביות: $x^3+27=(x+3)(x^2-3x+9)$.
23. $x=3,\ x=4$ — מפרקים לגורמים: $(x-(3))(x-(4))=0$, ולכן $x=3$ או $x=4$.
24. $m=8 \text{ או } m=-8$ — $\Delta=m^2-64=0\Rightarrow m=\pm8$.
25. $x=4$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 3: $81=3^{4}$. לכן $3^{x}=3^{4}$ ומכאן $x=4$.
26. אין פתרונות ממשיים — $\Delta=3^2-4\cdot2\cdot(5)=-31$. $\Delta<0$ ולכן אין פתרונות ממשיים.
27. $(x+4)(x-3)$ — $4\cdot(-3)=-12$, $4+(-3)=1$: $(x+4)(x-3)$.
28. $x=4,\ x=-4$ — $x^2=16\Rightarrow x=\pm4$.
29. $x>4$ או $x<-4$ — $|x|>4$ פירושו $x>4$ או $x<-4$.
30. $0<x<4$ — שורשים $x=0,4$. הביטוי שלילי בין השורשים: $0<x<4$.