חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $4.5\times 10^{4}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $45000=4.5\times 10^{4}$.
2. $9x^2-12x+4$ — $(3x-2)^2=9x^2-12x+4$.
3. $600$ — כתיב מדעי: $6\times 10^{2}=600$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
4. $4\sqrt{2}$ — מפרקים את 32 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=4\sqrt{2}$.
5. $x=3$ — כופלים ב-$x$, $x\neq0$: $6=2x\Rightarrow x=3$.
6. $8.9\times 10^{3}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $8900=8.9\times 10^{3}$.
7. $x=4,\ y=6$ — חיבור: $3x=12\Rightarrow x=4$, $y=6$.
8. $m=8 \text{ או } m=-8$ — $\Delta=m^2-64=0\Rightarrow m=\pm8$.
9. $t^{5}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $t^{7}\div t^{2}=t^{7-2}=t^{5}$.
10. $6$ — כפל שורשים: $\sqrt{2}\cdot\sqrt{18}=\sqrt{2\cdot 18}=\sqrt{36}=6$.
11. $\dfrac{1\sqrt{3}}{3}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{3}$: $\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{1\sqrt{3}}{3}=\dfrac{1\sqrt{3}}{3}$.
12. $x=3,\ y=2$ — חיבור המשוואות: $2x=6\Rightarrow x=3$, ואז $y=2$.
13. $\sqrt[3]{a^{1}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $a^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{a^{1}}$.
14. $2$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $32^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{32}=2$.
15. $a^{8}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $a^{4}\cdot a^{4}=a^{4+4}=a^{8}$.
16. $4$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $16^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{16}=4$.
17. $x<-1$ או $x>5$ — שורשים $x=-1,5$. פרבולה פתוחה למעלה, חיובית מחוץ לשורשים: $x<-1$ או $x>5$.
18. $m<16$ — $\Delta=64-4m>0\Rightarrow m<16$.
19. $25x^{2}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(5x\right)^{2}=25x^{2}$.
20. $x+2$ — $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$, מצמצמים: $x+2$.
21. $x\leq 3$ — $2x-2\geq3x-5\Rightarrow -x\geq-3\Rightarrow x\leq3$.
22. $x=5$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $32=2^{5}$. לכן $2^{x}=2^{5}$ ומכאן $x=5$.
23. $x=3,\ x=-5$ — מפרקים לגורמים: $(x-(3))(x-(-5))=0$, ולכן $x=3$ או $x=-5$.
24. $x=3,\ x=6$ — מפרקים לגורמים: $(x-(3))(x-(6))=0$, ולכן $x=3$ או $x=6$.
25. $2\sqrt{7}$ — מפרקים את 28 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{28}=\sqrt{4\cdot 7}=2\sqrt{7}$.
26. $x^{4}y^{4}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(xy\right)^{4}=x^{4}y^{4}$.
27. $x=4,\ y=2$ — הצבה: $2y+2y=8\Rightarrow y=2$, $x=4$.
28. $\dfrac{1\sqrt{7}}{7}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{7}$: $\dfrac{1}{\sqrt{7}}\cdot\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=\dfrac{1\sqrt{7}}{7}=\dfrac{1\sqrt{7}}{7}$.
29. $x=6$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $64=2^{6}$. לכן $2^{x}=2^{6}$ ומכאן $x=6$.
30. $x=-3,\ x=1$ — מפרקים לגורמים: $(x-(-3))(x-(1))=0$, ולכן $x=-3$ או $x=1$.