חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $m^{4}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $m^{9}\div m^{5}=m^{9-5}=m^{4}$.
2. $3\sqrt{5}$ — מפרקים את 45 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt{5}$.
3. $x=3,\ x=-5$ — מפרקים לגורמים: $(x-(3))(x-(-5))=0$, ולכן $x=3$ או $x=-5$.
4. $x=2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 6: $36=6^{2}$. לכן $6^{x}=6^{2}$ ומכאן $x=2$.
5. $x=1$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 3: $3=3^{1}$. לכן $3^{x}=3^{1}$ ומכאן $x=1$.
6. $x=9,\ x=1$ — $|x-5|=4$ נותן שני מקרים: $x-5=4$ או $x-5=-4$, ומכאן $x=9$ או $x=1$.
7. $x=-2,\ x=-3$ — מפרקים לגורמים: $(x-(-2))(x-(-3))=0$, ולכן $x=-2$ או $x=-3$.
8. $3.4\times 10^{2}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $340=3.4\times 10^{2}$.
9. $3<x<8$ — שורשים $x=3,8$. הביטוי שלילי בין השורשים: $3<x<8$.
10. $5$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{50}{2}}=\sqrt{25}=5$.
11. $1200$ — כתיב מדעי: $1.2\times 10^{3}=1200$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
12. אינסוף פתרונות — המשוואה השנייה כפולה של הראשונה — שתי המשוואות זהות, ולכן אינסוף פתרונות.
13. $2$ — $2x+6=2(x+3)$, מצמצמים: $2$.
14. $6$ — כפל שורשים: $\sqrt{2}\cdot\sqrt{18}=\sqrt{2\cdot 18}=\sqrt{36}=6$.
15. $x=5,\ y=1$ — חיבור: $3x=15\Rightarrow x=5$, $y=1$.
16. $x=6,\ x=-10$ — $|x+2|=8$ נותן שני מקרים: $x+2=8$ או $x+2=-8$, ומכאן $x=6$ או $x=-10$.
17. $4$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\dfrac{48}{3}}=\sqrt{16}=4$.
18. $x+3$ — $x^2-9=(x-3)(x+3)$, מצמצמים ב-$(x-3)$ ($x\neq3$): $x+3$.
19. $\dfrac{1}{x^{5}}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $x^{-5}=\dfrac{1}{x^{5}}$.
20. $x=5,\ x=-2$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=-3^2-4\cdot1\cdot(-10)=49$. $x=\frac{3\pm\sqrt{49}}{2\cdot1}$, כלומר $x=5$ או $x=-2$.
21. $\dfrac{1}{y^{2}}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $y^{-2}=\dfrac{1}{y^{2}}$.
22. $x=2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 9: $81=9^{2}$. לכן $9^{x}=9^{2}$ ומכאן $x=2$.
23. $x-6$ — $x^2-36=(x-6)(x+6)$, מצמצמים: $x-6$.
24. $p^{8}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $p^{2}\cdot p^{6}=p^{2+6}=p^{8}$.
25. $3$ — כפל שורשים: $\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{3\cdot 3}=\sqrt{9}=3$.
26. $x=7$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $128=2^{7}$. לכן $2^{x}=2^{7}$ ומכאן $x=7$.
27. $x=1,\ x=6$ — מפרקים לגורמים: $(x-(1))(x-(6))=0$, ולכן $x=1$ או $x=6$.
28. $x=2,\ x=6$ — מפרקים לגורמים: $(x-(2))(x-(6))=0$, ולכן $x=2$ או $x=6$.
29. $7$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{98}{2}}=\sqrt{49}=7$.
30. $x=\frac{1}{2},\ x=-3$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=5^2-4\cdot2\cdot(-3)=49$. $x=\frac{-5\pm\sqrt{49}}{2\cdot2}$, כלומר $x=\frac{1}{2}$ או $x=-3$.