חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. אין פתרונות ממשיים — $\Delta=3^2-4\cdot2\cdot(5)=-31$. $\Delta<0$ ולכן אין פתרונות ממשיים.
2. $-1\leq x\leq 5$ — $-9\leq3x-6\leq9\Rightarrow-3\leq3x... \Rightarrow-1\leq x\leq5$.
3. $x=-5,\ x=3$ — מפרקים לגורמים: $(x-(-5))(x-(3))=0$, ולכן $x=-5$ או $x=3$.
4. $p^{16}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(p^{4}\right)^{4}=p^{4\cdot 4}=p^{16}$.
5. $5\sqrt{2}$ — מפרקים את 50 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$.
6. $x^{4}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $7+2-5=4$, לכן התוצאה $x^{4}$.
7. $8.9\times 10^{3}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $8900=8.9\times 10^{3}$.
8. $x=\frac{1}{3}$ — כופלים ב-$x$: $x+1=4x\Rightarrow1=3x\Rightarrow x=\frac{1}{3}$.
9. $6.7\times 10^{5}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $670000=6.7\times 10^{5}$.
10. $4.5\times 10^{4}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $45000=4.5\times 10^{4}$.
11. $x^{3}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $x^{5}\div x^{2}=x^{5-2}=x^{3}$.
12. $x^{4}y^{4}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(xy\right)^{4}=x^{4}y^{4}$.
13. $m<9$ — $\Delta=36-4m>0\Rightarrow m<9$.
14. $x=5,\ x=-1$ — $2x-4=6$ או $2x-4=-6$, כלומר $x=5$ או $x=-1$.
15. $5000$ — כתיב מדעי: $5\times 10^{3}=5000$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
16. $x=2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 9: $81=9^{2}$. לכן $9^{x}=9^{2}$ ומכאן $x=2$.
17. $x=10,\ x=6$ — $|x-8|=2$ נותן שני מקרים: $x-8=2$ או $x-8=-2$, ומכאן $x=10$ או $x=6$.
18. $a^{3}b^{3}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(ab\right)^{3}=a^{3}b^{3}$.
19. $x=2$ — $\frac{5}{x}=\frac{5}{2}\Rightarrow x=2$ ($x\neq0$).
20. $x<-1$ או $x>5$ — שורשים $x=-1,5$. פרבולה פתוחה למעלה, חיובית מחוץ לשורשים: $x<-1$ או $x>5$.
21. $x=4,\ x=-7$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=3^2-4\cdot1\cdot(-28)=121$. $x=\frac{-3\pm\sqrt{121}}{2\cdot1}$, כלומר $x=4$ או $x=-7$.
22. $a^{6}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $a^{3}\cdot a^{3}=a^{3+3}=a^{6}$.
23. $x=7$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $128=2^{7}$. לכן $2^{x}=2^{7}$ ומכאן $x=7$.
24. $x<3$ — $-x>-3\Rightarrow x<3$.
25. $6\sqrt{2}$ — מפרקים את 72 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}$.
26. $x=5,\ y=1$ — חיבור: $3x=15\Rightarrow x=5$, $y=1$.
27. $x=2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 10: $100=10^{2}$. לכן $10^{x}=10^{2}$ ומכאן $x=2$.
28. $t^{5}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $t^{7}\div t^{2}=t^{7-2}=t^{5}$.
29. $x=2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 3: $9=3^{2}$. לכן $3^{x}=3^{2}$ ומכאן $x=2$.
30. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.