חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $m=4$ — $\Delta=16-4m=0\Rightarrow m=4$.
2. $x=3$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $8=2^{3}$. לכן $2^{x}=2^{3}$ ומכאן $x=3$.
3. $6$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $36^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{36}=6$.
4. $(x+5)^2$ — זהו ריבוע: $x^2+10x+25=(x+5)^2$.
5. $10$ — כפל שורשים: $\sqrt{5}\cdot\sqrt{20}=\sqrt{5\cdot 20}=\sqrt{100}=10$.
6. $x>-3$ — $-2x<6$, חלוקה בשלילי הופכת: $x>-3$.
7. שני פתרונות — $\Delta=-7^2-4\cdot2\cdot(3)=25$. $\Delta>0$ ולכן שני פתרונות.
8. אין פתרון — $(x-(2))^2<0$ — אין פתרון.
9. $8$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $64^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{64}=8$.
10. $x=3,\ y=2$ — חיבור המשוואות: $2x=6\Rightarrow x=3$, ואז $y=2$.
11. $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{2}$: $\dfrac{3}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
12. $a^{2}b^{2}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(ab\right)^{2}=a^{2}b^{2}$.
13. $x=1,\ x=4$ — מפרקים לגורמים: $(x-(1))(x-(4))=0$, ולכן $x=1$ או $x=4$.
14. $x=2,\ y=1$ — הצבה: $4x+x-1=9\Rightarrow5x=10\Rightarrow x=2$, $y=1$.
15. $x=2,\ x=-8$ — $|x+3|=5$ נותן שני מקרים: $x+3=5$ או $x+3=-5$, ומכאן $x=2$ או $x=-8$.
16. $7$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{98}{2}}=\sqrt{49}=7$.
17. $5\sqrt{3}$ — מפרקים את 75 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3}$.
18. $x=2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 4: $16=4^{2}$. לכן $4^{x}=4^{2}$ ומכאן $x=2$.
19. $7$ — לפי וייטה, סכום השורשים $=-\frac{b}{a}=-\frac{-7}{1}=7$.
20. $m=8 \text{ או } m=-8$ — $\Delta=m^2-64=0\Rightarrow m=\pm8$.
21. $3<x<8$ — שורשים $x=3,8$. הביטוי שלילי בין השורשים: $3<x<8$.
22. $x\geq 6$ — $\frac{x}{2}\geq3\Rightarrow x\geq6$.
23. $3\sqrt{5}$ — מפרקים את 45 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt{5}$.
24. $-5<x<5$ — $|x|<5$ פירושו $-5<x<5$.
25. $a^{10}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(a^{2}\right)^{5}=a^{2\cdot 5}=a^{10}$.
26. $b^{4}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $b^{2}\cdot b^{2}=b^{2+2}=b^{4}$.
27. $\dfrac{1}{a^{4}}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $a^{-4}=\dfrac{1}{a^{4}}$.
28. $x=-1,\ x=4$ — מפרקים לגורמים: $(x-(-1))(x-(4))=0$, ולכן $x=-1$ או $x=4$.
29. $x=1,\ x=-5$ — מפרקים לגורמים: $(x-(1))(x-(-5))=0$, ולכן $x=1$ או $x=-5$.
30. $m^{2}n^{2}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(mn\right)^{2}=m^{2}n^{2}$.