חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $25x^{2}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(5x\right)^{2}=25x^{2}$.
2. $2\sqrt{3}$ — מפרקים את 12 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$.
3. $x=3,\ y=-3$ — חיבור: $2x=6\Rightarrow x=3$, $y=-3$.
4. $m<16$ — $\Delta=64-4m>0\Rightarrow m<16$.
5. $(2x-3)(2x+3)$ — הפרש ריבועים: $4x^2-9=(2x-3)(2x+3)$.
6. $8$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $64^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{64}=8$.
7. $x=1,\ x=6$ — מפרקים לגורמים: $(x-(1))(x-(6))=0$, ולכן $x=1$ או $x=6$.
8. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
9. $x\leq 3$ — $2x-2\geq3x-5\Rightarrow -x\geq-3\Rightarrow x\leq3$.
10. $x<-1$ או $x>5$ — שורשים $x=-1,5$. פרבולה פתוחה למעלה, חיובית מחוץ לשורשים: $x<-1$ או $x>5$.
11. $0<x<4$ — שורשים $x=0,4$. הביטוי שלילי בין השורשים: $0<x<4$.
12. $m^{2}n^{2}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(mn\right)^{2}=m^{2}n^{2}$.
13. $1<x<4$ — שורשים $x=1,4$. הביטוי שלילי בין השורשים: $1<x<4$.
14. $5$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{50}{2}}=\sqrt{25}=5$.
15. אין פתרון — $(x-(2))^2<0$ — אין פתרון.
16. $x=1$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 3: $3=3^{1}$. לכן $3^{x}=3^{1}$ ומכאן $x=1$.
17. $\dfrac{1}{x^{3}}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $x^{-3}=\dfrac{1}{x^{3}}$.
18. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
19. $\dfrac{1}{y^{2}}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $y^{-2}=\dfrac{1}{y^{2}}$.
20. $5$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\dfrac{75}{3}}=\sqrt{25}=5$.
21. $5$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $125^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{125}=5$.
22. $(x-1)(x+1)$ — הפרש ריבועים: $x^2-1=(x-1)(x+1)$.
23. $3\sqrt{3}$ — מפרקים את 27 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt{3}$.
24. $\dfrac{1}{16}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $4^{-2}=\dfrac{1}{4^{2}}=\dfrac{1}{16}$.
25. $x=2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $4=2^{2}$. לכן $2^{x}=2^{2}$ ומכאן $x=2$.
26. $x\leq -4$ — חלוקה ב-(-3) הופכת: $x\leq-4$.
27. $\dfrac{1}{8}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $2^{-3}=\dfrac{1}{2^{3}}=\dfrac{1}{8}$.
28. $\dfrac{1}{x^{2}}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $x^{-2}=\dfrac{1}{x^{2}}$.
29. $8x^{3}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(2x\right)^{3}=8x^{3}$.
30. $\dfrac{1}{a^{3}}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $a^{-3}=\dfrac{1}{a^{3}}$.