חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $x=4,\ y=2$ — חיסור: $2x=8\Rightarrow x=4$, ואז $2y=4\Rightarrow y=2$.
2. $x=1,\ x=4$ — מפרקים לגורמים: $(x-(1))(x-(4))=0$, ולכן $x=1$ או $x=4$.
3. $(x+3)(x^2-3x+9)$ — סכום קוביות: $x^3+27=(x+3)(x^2-3x+9)$.
4. $x=4$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $16=2^{4}$. לכן $2^{x}=2^{4}$ ומכאן $x=4$.
5. $10$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $100^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{100}=10$.
6. $3$ — $3x-12=3(x-4)$, מצמצמים: $3$.
7. $10$ — כפל שורשים: $\sqrt{5}\cdot\sqrt{20}=\sqrt{5\cdot 20}=\sqrt{100}=10$.
8. $x=2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 10: $100=10^{2}$. לכן $10^{x}=10^{2}$ ומכאן $x=2$.
9. $a^{2}b^{2}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(ab\right)^{2}=a^{2}b^{2}$.
10. $2<x<6$ — שורשים $x=2,6$. הביטוי שלילי בין השורשים: $2<x<6$.
11. $m>25$ — $\Delta=100-4m<0\Rightarrow m>25$.
12. $x=-1,\ x=-4$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=5^2-4\cdot1\cdot(4)=9$. $x=\frac{-5\pm\sqrt{9}}{2\cdot1}$, כלומר $x=-1$ או $x=-4$.
13. $\dfrac{1}{x^{3}}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $x^{-3}=\dfrac{1}{x^{3}}$.
14. $x\geq 3$ — $-x\leq-3\Rightarrow x\geq3$.
15. $x=4,\ x=-4$ — $x^2=16\Rightarrow x=\pm4$.
16. $x\leq 3$ — $2x\leq6\Rightarrow x\leq3$.
17. $(x-2)(x^2+2x+4)$ — הפרש קוביות: $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$.
18. $x=-4,\ x=1$ — מפרקים לגורמים: $(x-(-4))(x-(1))=0$, ולכן $x=-4$ או $x=1$.
19. $k^{3}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $k^{8}\div k^{5}=k^{8-5}=k^{3}$.
20. $\dfrac{1}{x^{1}}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $x^{-1}=\dfrac{1}{x^{1}}$.
21. $x=5,\ x=-1$ — $2x-4=6$ או $2x-4=-6$, כלומר $x=5$ או $x=-1$.
22. $x=-3,\ x=1$ — מפרקים לגורמים: $(x-(-3))(x-(1))=0$, ולכן $x=-3$ או $x=1$.
23. $x^{5}2^{5}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(x2\right)^{5}=x^{5}2^{5}$.
24. $x=1,\ x=6$ — מפרקים לגורמים: $(x-(1))(x-(6))=0$, ולכן $x=1$ או $x=6$.
25. $x^{9}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(x^{3}\right)^{3}=x^{3\cdot 3}=x^{9}$.
26. $3$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{18}{2}}=\sqrt{9}=3$.
27. $x=4$ — $8=4(x-2)\Rightarrow x-2=2\Rightarrow x=4$ ($x\neq2$).
28. $m^{4}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $m^{9}\div m^{5}=m^{9-5}=m^{4}$.
29. $x^{7}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $x^{6}\cdot x^{1}=x^{6+1}=x^{7}$.
30. $x=4,\ x=-3$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=-1^2-4\cdot1\cdot(-12)=49$. $x=\frac{1\pm\sqrt{49}}{2\cdot1}$, כלומר $x=4$ או $x=-3$.