חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $(x+5)^2$ — זהו ריבוע: $x^2+10x+25=(x+5)^2$.
2. $p^{8}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $p^{2}\cdot p^{6}=p^{2+6}=p^{8}$.
3. $x=\frac{1}{2},\ x=-3$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=5^2-4\cdot2\cdot(-3)=49$. $x=\frac{-5\pm\sqrt{49}}{2\cdot2}$, כלומר $x=\frac{1}{2}$ או $x=-3$.
4. $x=6$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $64=2^{6}$. לכן $2^{x}=2^{6}$ ומכאן $x=6$.
5. $9$ — כפל שורשים: $\sqrt{3}\cdot\sqrt{27}=\sqrt{3\cdot 27}=\sqrt{81}=9$.
6. $x=8$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $256=2^{8}$. לכן $2^{x}=2^{8}$ ומכאן $x=8$.
7. $x+3$ — $x^2+7x+12=(x+3)(x+4)$, מצמצמים: $x+3$.
8. $600$ — כתיב מדעי: $6\times 10^{2}=600$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
9. $m=10 \text{ או } m=-10$ — $\Delta=m^2-100=0\Rightarrow m=\pm10$.
10. $a^{7}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $a^{5}\cdot a^{2}=a^{5+2}=a^{7}$.
11. $8$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $64^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{64}=8$.
12. $-3\leq x\leq 3$ — $|x|\leq3$ פירושו $-3\leq x\leq3$.
13. $x=3,\ y=2$ — מציבים $x=3$: $6+3y=12\Rightarrow y=2$.
14. $x=-2,\ x=5$ — מפרקים לגורמים: $(x-(-2))(x-(5))=0$, ולכן $x=-2$ או $x=5$.
15. $x=2,\ y=3$ — חיבור: $6x=12\Rightarrow x=2$, $y=3$.
16. $x^{5}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $x^{12}\div x^{7}=x^{12-7}=x^{5}$.
17. $k=-7$ — מציבים $x=3$: $9+3k+12=0\Rightarrow3k=-21\Rightarrow k=-7$.
18. $x<-1$ או $x>5$ — שורשים $x=-1,5$. פרבולה פתוחה למעלה, חיובית מחוץ לשורשים: $x<-1$ או $x>5$.
19. $x=5,\ y=3$ — $x=y+2$: $(y+2)y=15\Rightarrow y^2+2y-15=0\Rightarrow(y+5)(y-3)=0$, $y=3$ נותן $x=5$.
20. $x=4,\ y=2$ — $x=2y$, ואז $6y+y=14\Rightarrow y=2$, $x=4$.
21. $x+3$ — $x^2-9=(x-3)(x+3)$, מצמצמים ב-$(x-3)$ ($x\neq3$): $x+3$.
22. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
23. $7$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{98}{2}}=\sqrt{49}=7$.
24. $\sqrt[3]{x^{2}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $x^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{x^{2}}$.
25. $x=7,\ x=-2$ — מפרקים לגורמים: $(x-(7))(x-(-2))=0$, ולכן $x=7$ או $x=-2$.
26. $x=5$ — ערך מוחלט אינו שלילי, ולכן רק $x=5$ מקיים.
27. $x=1,\ x=4$ — מפרקים לגורמים: $(x-(1))(x-(4))=0$, ולכן $x=1$ או $x=4$.
28. $x=1,\ x=-5$ — מפרקים לגורמים: $(x-(1))(x-(-5))=0$, ולכן $x=1$ או $x=-5$.
29. $x\geq 2$ או $x\leq -2$ — $|x|\geq2$ פירושו $x\geq2$ או $x\leq-2$.
30. $x\leq -4$ — חלוקה ב-(-3) הופכת: $x\leq-4$.