חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $3<x<8$ — שורשים $x=3,8$. הביטוי שלילי בין השורשים: $3<x<8$.
2. $x=2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 7: $49=7^{2}$. לכן $7^{x}=7^{2}$ ומכאן $x=2$.
3. $\sqrt[2]{x^{5}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $x^{\frac{5}{2}}=\sqrt[2]{x^{5}}$.
4. $x=4,\ x=-7$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=3^2-4\cdot1\cdot(-28)=121$. $x=\frac{-3\pm\sqrt{121}}{2\cdot1}$, כלומר $x=4$ או $x=-7$.
5. $x^{3}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $x^{5}\div x^{2}=x^{5-2}=x^{3}$.
6. $x=\frac{1}{2},\ x=-3$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=5^2-4\cdot2\cdot(-3)=49$. $x=\frac{-5\pm\sqrt{49}}{2\cdot2}$, כלומר $x=\frac{1}{2}$ או $x=-3$.
7. $2(x-3)(x+3)$ — מוציאים 2 ואז הפרש ריבועים: $2x^2-18=2(x^2-9)=2(x-3)(x+3)$.
8. $x=3,\ x=4$ — מפרקים לגורמים: $(x-(3))(x-(4))=0$, ולכן $x=3$ או $x=4$.
9. $10$ — לפי וייטה, מכפלת השורשים $=\frac{c}{a}=10$.
10. $k^{8}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $k^{3}\cdot k^{5}=k^{3+5}=k^{8}$.
11. $x\neq -4$ — ערך מוחלט חיובי לכל $x$ פרט ל-$x=-4$.
12. $(x-4)^2$ — זהו ריבוע: $x^2-8x+16=(x-4)^2$.
13. $x^{13}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $10+5-2=13$, לכן התוצאה $x^{13}$.
14. $(3x-4)(3x+4)$ — הפרש ריבועים: $9x^2-16=(3x-4)(3x+4)$.
15. $7$ — לפי וייטה, סכום השורשים $=-\frac{b}{a}=-\frac{-7}{1}=7$.
16. $6\sqrt{2}$ — מפרקים את 72 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}$.
17. $8$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $64^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{64}=8$.
18. $x=6$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $64=2^{6}$. לכן $2^{x}=2^{6}$ ומכאן $x=6$.
19. $x\geq 2$ או $x\leq -2$ — $|x|\geq2$ פירושו $x\geq2$ או $x\leq-2$.
20. $1200$ — כתיב מדעי: $1.2\times 10^{3}=1200$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
21. $x+3$ — $x^2-9=(x-3)(x+3)$, מצמצמים ב-$(x-3)$ ($x\neq3$): $x+3$.
22. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
23. $x=3,\ x=-2$ — כופלים ב-$2x$: $x^2-6=x\Rightarrow x^2-x-6=0\Rightarrow(x-3)(x+2)=0$, $x\neq0$.
24. $a^{4}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $a^{7}\div a^{3}=a^{7-3}=a^{4}$.
25. $m<9$ — $\Delta=36-4m>0\Rightarrow m<9$.
26. $7$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $49^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{49}=7$.
27. $x>4$ או $x<-4$ — $|x|>4$ פירושו $x>4$ או $x<-4$.
28. $x^{5}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $x^{12}\div x^{7}=x^{12-7}=x^{5}$.
29. $7$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{98}{2}}=\sqrt{49}=7$.
30. $2$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $16^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{16}=2$.