חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $y^{8}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(y^{4}\right)^{2}=y^{4\cdot 2}=y^{8}$.
2. $250$ — כתיב מדעי: $2.5\times 10^{2}=250$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
3. $x<-3$ או $x>2$ — שורשים $x=-3,2$. פרבולה פתוחה למעלה, חיובית מחוץ לשורשים: $x<-3$ או $x>2$.
4. $x=2,\ y=1$ — הצבה: $4x+x-1=9\Rightarrow5x=10\Rightarrow x=2$, $y=1$.
5. $m<16$ — $\Delta=64-4m>0\Rightarrow m<16$.
6. $4000000$ — כתיב מדעי: $4\times 10^{6}=4000000$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
7. $x^{10}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(x^{5}\right)^{2}=x^{5\cdot 2}=x^{10}$.
8. $x=-6,\ x=2$ — מפרקים לגורמים: $(x-(-6))(x-(2))=0$, ולכן $x=-6$ או $x=2$.
9. $7$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $49^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{49}=7$.
10. $(x-7)(x+7)$ — הפרש ריבועים: $x^2-49=(x-7)(x+7)$.
11. $x<-3$ — $3x<-9\Rightarrow x<-3$.
12. $x^{4}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $7+2-5=4$, לכן התוצאה $x^{4}$.
13. $3$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $243^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{243}=3$.
14. פתרון יחיד — $\Delta=6^2-4\cdot1\cdot(9)=0$. $\Delta=0$ ולכן פתרון יחיד.
15. $\sqrt[2]{x^{5}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $x^{\frac{5}{2}}=\sqrt[2]{x^{5}}$.
16. $p^{8}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $p^{2}\cdot p^{6}=p^{2+6}=p^{8}$.
17. $x^{9}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(x^{3}\right)^{3}=x^{3\cdot 3}=x^{9}$.
18. $x^2+6x+9$ — $(x+3)^2=x^2+2\cdot3x+9=x^2+6x+9$.
19. $9$ — כפל שורשים: $\sqrt{3}\cdot\sqrt{27}=\sqrt{3\cdot 27}=\sqrt{81}=9$.
20. $\dfrac{1}{a^{4}}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $a^{-4}=\dfrac{1}{a^{4}}$.
21. $x=4,\ x=-6$ — מפרקים לגורמים: $(x-(4))(x-(-6))=0$, ולכן $x=4$ או $x=-6$.
22. $x^{5}2^{5}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(x2\right)^{5}=x^{5}2^{5}$.
23. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
24. $x=-3,\ x=-5$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=8^2-4\cdot1\cdot(15)=4$. $x=\frac{-8\pm\sqrt{4}}{2\cdot1}$, כלומר $x=-3$ או $x=-5$.
25. $\dfrac{1}{8}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $2^{-3}=\dfrac{1}{2^{3}}=\dfrac{1}{8}$.
26. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
27. $x^{12}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(x^{6}\right)^{2}=x^{6\cdot 2}=x^{12}$.
28. $\sqrt[3]{x^{2}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $x^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{x^{2}}$.
29. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
30. $x^{6}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $x^{4}\cdot x^{2}=x^{4+2}=x^{6}$.