חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $x\leq 3$ — $2x-2\geq3x-5\Rightarrow -x\geq-3\Rightarrow x\leq3$.
2. $x=2$ — $\frac{5}{x}=\frac{5}{2}\Rightarrow x=2$ ($x\neq0$).
3. $10000000$ — כתיב מדעי: $1\times 10^{7}=10000000$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
4. $\sqrt[4]{x^{3}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $x^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{x^{3}}$.
5. $k=-7$ — מציבים $x=3$: $9+3k+12=0\Rightarrow3k=-21\Rightarrow k=-7$.
6. $x=3$ — כופלים ב-$x$, $x\neq0$: $6=2x\Rightarrow x=3$.
7. $3$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\dfrac{45}{5}}=\sqrt{9}=3$.
8. $7$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $49^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{49}=7$.
9. $x=9,\ x=-5$ — $|x-2|=7$ נותן שני מקרים: $x-2=7$ או $x-2=-7$, ומכאן $x=9$ או $x=-5$.
10. $m=10 \text{ או } m=-10$ — $\Delta=m^2-100=0\Rightarrow m=\pm10$.
11. $8$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $64^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{64}=8$.
12. $(x-1)(x+1)$ — הפרש ריבועים: $x^2-1=(x-1)(x+1)$.
13. $5$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $125^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{125}=5$.
14. $7\sqrt{2}$ — מפרקים את 98 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{98}=\sqrt{49\cdot 2}=7\sqrt{2}$.
15. $k^{8}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $k^{3}\cdot k^{5}=k^{3+5}=k^{8}$.
16. $x^{7}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $x^{6}\cdot x^{1}=x^{6+1}=x^{7}$.
17. $a^{4}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $a^{7}\div a^{3}=a^{7-3}=a^{4}$.
18. $x=4,\ y=6$ — חיבור: $3x=12\Rightarrow x=4$, $y=6$.
19. $10$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $100^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{100}=10$.
20. $4000000$ — כתיב מדעי: $4\times 10^{6}=4000000$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
21. $m>25$ — $\Delta=100-4m<0\Rightarrow m>25$.
22. $x=3,\ x=\frac{1}{2}$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=-7^2-4\cdot2\cdot(3)=25$. $x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{2\cdot2}$, כלומר $x=3$ או $x=\frac{1}{2}$.
23. $x^{9}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(x^{3}\right)^{3}=x^{3\cdot 3}=x^{9}$.
24. $1<x<4$ — שורשים $x=1,4$. הביטוי שלילי בין השורשים: $1<x<4$.
25. $x^{12}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(x^{3}\right)^{4}=x^{3\cdot 4}=x^{12}$.
26. $m=8 \text{ או } m=-8$ — $\Delta=m^2-64=0\Rightarrow m=\pm8$.
27. $x=6$ — כופלים פנים-חוץ: $4(x-3)=2x\Rightarrow4x-12=2x\Rightarrow2x=12\Rightarrow x=6$.
28. $3<x<8$ — שורשים $x=3,8$. הביטוי שלילי בין השורשים: $3<x<8$.
29. $x^{13}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $10+5-2=13$, לכן התוצאה $x^{13}$.
30. $\dfrac{1}{y^{2}}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $y^{-2}=\dfrac{1}{y^{2}}$.