חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $\dfrac{1}{x^{3}}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $x^{-3}=\dfrac{1}{x^{3}}$.
2. $3$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{18}{2}}=\sqrt{9}=3$.
3. $5$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\dfrac{75}{3}}=\sqrt{25}=5$.
4. $\dfrac{1\sqrt{7}}{7}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{7}$: $\dfrac{1}{\sqrt{7}}\cdot\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=\dfrac{1\sqrt{7}}{7}=\dfrac{1\sqrt{7}}{7}$.
5. $3<x<8$ — שורשים $x=3,8$. הביטוי שלילי בין השורשים: $3<x<8$.
6. $x^{4}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $x^{10}\div x^{6}=x^{10-6}=x^{4}$.
7. $x^{3}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $x^{5}\div x^{2}=x^{5-2}=x^{3}$.
8. $x=2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 7: $49=7^{2}$. לכן $7^{x}=7^{2}$ ומכאן $x=2$.
9. $x=5,\ y=3$ — $x=y+2$: $(y+2)y=15\Rightarrow y^2+2y-15=0\Rightarrow(y+5)(y-3)=0$, $y=3$ נותן $x=5$.
10. $x=10,\ x=4$ — $|x-7|=3$ נותן שני מקרים: $x-7=3$ או $x-7=-3$, ומכאן $x=10$ או $x=4$.
11. $m<16$ — $\Delta=64-4m>0\Rightarrow m<16$.
12. $x^{5}2^{5}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(x2\right)^{5}=x^{5}2^{5}$.
13. $x=9,\ x=1$ — $|x-5|=4$ נותן שני מקרים: $x-5=4$ או $x-5=-4$, ומכאן $x=9$ או $x=1$.
14. $y^{5}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $y^{6}\div y^{1}=y^{6-1}=y^{5}$.
15. אין פתרון — $(x-(2))^2<0$ — אין פתרון.
16. $x=4,\ x=2$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=-6^2-4\cdot1\cdot(8)=4$. $x=\frac{6\pm\sqrt{4}}{2\cdot1}$, כלומר $x=4$ או $x=2$.
17. $-2<x<4$ — $-3<x-1<3$ ולכן $-2<x<4$.
18. $6\sqrt{2}$ — מפרקים את 72 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}$.
19. $x=2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 4: $16=4^{2}$. לכן $4^{x}=4^{2}$ ומכאן $x=2$.
20. שני פתרונות — $\Delta=-5^2-4\cdot1\cdot(6)=1$. $\Delta>0$ ולכן שני פתרונות.
21. $3\sqrt{5}$ — מפרקים את 45 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt{5}$.
22. $t^{5}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $t^{7}\div t^{2}=t^{7-2}=t^{5}$.
23. $x>5$ או $x<1$ — $x-3>2$ או $x-3<-2$ ולכן $x>5$ או $x<1$.
24. $\dfrac{1}{7}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $7^{-1}=\dfrac{1}{7^{1}}=\dfrac{1}{7}$.
25. שני פתרונות — $\Delta=-3^2-4\cdot1\cdot(-4)=25$. $\Delta>0$ ולכן שני פתרונות.
26. $x=-1,\ x=-4$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=5^2-4\cdot1\cdot(4)=9$. $x=\frac{-5\pm\sqrt{9}}{2\cdot1}$, כלומר $x=-1$ או $x=-4$.
27. $3\sqrt{3}$ — מפרקים את 27 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt{3}$.
28. $x=2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 3: $9=3^{2}$. לכן $3^{x}=3^{2}$ ומכאן $x=2$.
29. $7$ — לפי וייטה, סכום השורשים $=-\frac{b}{a}=-\frac{-7}{1}=7$.
30. $4$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $16^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{16}=4$.