חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $x=3,\ x=\frac{1}{2}$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=-7^2-4\cdot2\cdot(3)=25$. $x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{2\cdot2}$, כלומר $x=3$ או $x=\frac{1}{2}$.
2. $m=4 \text{ או } m=-4$ — $\Delta=m^2-16=0\Rightarrow m=\pm4$.
3. $x\geq 3$ — $-x\leq-3\Rightarrow x\geq3$.
4. $x\geq 2$ או $x\leq -2$ — $|x|\geq2$ פירושו $x\geq2$ או $x\leq-2$.
5. $x\leq 3$ — $2x\leq6\Rightarrow x\leq3$.
6. $2<x<6$ — שורשים $x=2,6$. הביטוי שלילי בין השורשים: $2<x<6$.
7. $a^{6}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(a^{3}\right)^{2}=a^{3\cdot 2}=a^{6}$.
8. $x=7,\ x=-5$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=-2^2-4\cdot1\cdot(-35)=144$. $x=\frac{2\pm\sqrt{144}}{2\cdot1}$, כלומר $x=7$ או $x=-5$.
9. $x=5$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $32=2^{5}$. לכן $2^{x}=2^{5}$ ומכאן $x=5$.
10. $x=2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 3: $9=3^{2}$. לכן $3^{x}=3^{2}$ ומכאן $x=2$.
11. $x=4,\ x=-6$ — מפרקים לגורמים: $(x-(4))(x-(-6))=0$, ולכן $x=4$ או $x=-6$.
12. $t^{12}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(t^{4}\right)^{3}=t^{4\cdot 3}=t^{12}$.
13. $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{2}$: $\dfrac{3}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
14. $x=2$ — $\frac{5}{x}=\frac{5}{2}\Rightarrow x=2$ ($x\neq0$).
15. $3$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $9^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{9}=3$.
16. $\dfrac{1}{y^{2}}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $y^{-2}=\dfrac{1}{y^{2}}$.
17. $\dfrac{1}{25}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $5^{-2}=\dfrac{1}{5^{2}}=\dfrac{1}{25}$.
18. $2$ — $2x+6=2(x+3)$, מצמצמים: $2$.
19. $5$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $125^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{125}=5$.
20. $x+2$ — $x^2-2x-8=(x-4)(x+2)$, מצמצמים: $x+2$.
21. $x=3,\ x=-3$ — $|x|=3$ נותן שני מקרים: $x=3$ או $x=-3$, ומכאן $x=3$ או $x=-3$.
22. $x=-1,\ x=-6$ — מפרקים לגורמים: $(x-(-1))(x-(-6))=0$, ולכן $x=-1$ או $x=-6$.
23. $\dfrac{1\sqrt{7}}{7}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{7}$: $\dfrac{1}{\sqrt{7}}\cdot\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=\dfrac{1\sqrt{7}}{7}=\dfrac{1\sqrt{7}}{7}$.
24. $\sqrt[4]{x^{3}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $x^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{x^{3}}$.
25. $10\sqrt{2}$ — מפרקים את 200 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{200}=\sqrt{100\cdot 2}=10\sqrt{2}$.
26. $6\sqrt{2}$ — מפרקים את 72 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}$.
27. אין פתרונות ממשיים — $\Delta=1^2-4\cdot1\cdot(3)=-11$. $\Delta<0$ ולכן אין פתרונות ממשיים.
28. $7$ — לפי וייטה, סכום השורשים $=-\frac{b}{a}=-\frac{-7}{1}=7$.
29. $x^2-25$ — הפרש ריבועים: $(x+5)(x-5)=x^2-25$.
30. $-2<x<4$ — $-3<x-1<3$ ולכן $-2<x<4$.