חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $a^{3}b^{3}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(ab\right)^{3}=a^{3}b^{3}$.
2. $5000$ — כתיב מדעי: $5\times 10^{3}=5000$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
3. $\dfrac{1}{27}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $3^{-3}=\dfrac{1}{3^{3}}=\dfrac{1}{27}$.
4. $x=4,\ y=6$ — חיבור: $3x=12\Rightarrow x=4$, $y=6$.
5. $5$ — $5x+10=5(x+2)$, מצמצמים: $5$.
6. $y^{5}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $4+2-1=5$, לכן התוצאה $y^{5}$.
7. $t^{12}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(t^{4}\right)^{3}=t^{4\cdot 3}=t^{12}$.
8. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{3}$: $\dfrac{2}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.
9. $x=4,\ x=-4$ — $x^2=16\Rightarrow x=\pm4$.
10. $10$ — לפי וייטה, מכפלת השורשים $=\frac{c}{a}=10$.
11. $m>36$ — $\Delta=144-4m<0\Rightarrow m>36$.
12. $0<x<5$ — שורשים $x=0,5$. הביטוי שלילי בין השורשים: $0<x<5$.
13. $x=5$ — ערך מוחלט אינו שלילי, ולכן רק $x=5$ מקיים.
14. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
15. $x=6,\ x=-10$ — $|x+2|=8$ נותן שני מקרים: $x+2=8$ או $x+2=-8$, ומכאן $x=6$ או $x=-10$.
16. $3$ — כפל שורשים: $\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{3\cdot 3}=\sqrt{9}=3$.
17. $\dfrac{1}{8}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $2^{-3}=\dfrac{1}{2^{3}}=\dfrac{1}{8}$.
18. $x=2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $4=2^{2}$. לכן $2^{x}=2^{2}$ ומכאן $x=2$.
19. $a^{6}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(a^{3}\right)^{2}=a^{3\cdot 2}=a^{6}$.
20. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
21. $x>2$ או $x<-1$ — מנה חיובית כששני הגורמים בעלי אותו סימן: $x>2$ או $x<-1$ ($x\neq-1$).
22. $t^{7}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $t^{3}\cdot t^{4}=t^{3+4}=t^{7}$.
23. $x=3,\ y=1$ — חיבור: $3x=9\Rightarrow x=3$, ואז $y=1$.
24. $x=-1,\ x=-4$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=5^2-4\cdot1\cdot(4)=9$. $x=\frac{-5\pm\sqrt{9}}{2\cdot1}$, כלומר $x=-1$ או $x=-4$.
25. $x^2-4x+4$ — $(x-2)^2=x^2-4x+4$.
26. $x=3$ — כופלים ב-$(x-2)$, $x\neq2$: $x=3(x-2)=3x-6\Rightarrow-2x=-6\Rightarrow x=3$.
27. $\dfrac{1}{25}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $5^{-2}=\dfrac{1}{5^{2}}=\dfrac{1}{25}$.
28. $m=4 \text{ או } m=-4$ — $\Delta=m^2-16=0\Rightarrow m=\pm4$.
29. $x-6$ — $x^2-36=(x-6)(x+6)$, מצמצמים: $x-6$.
30. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.