חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. פתרון יחיד — $\Delta=2^2-4\cdot1\cdot(1)=0$. $\Delta=0$ ולכן פתרון יחיד.
2. $\dfrac{1\sqrt{7}}{7}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{7}$: $\dfrac{1}{\sqrt{7}}\cdot\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=\dfrac{1\sqrt{7}}{7}=\dfrac{1\sqrt{7}}{7}$.
3. $x+2$ — $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$, מצמצמים: $x+2$.
4. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
5. $x=3,\ y=1$ — חיבור: $3x=9\Rightarrow x=3$, ואז $y=1$.
6. $2$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2$.
7. $(x-1)(x+1)$ — הפרש ריבועים: $x^2-1=(x-1)(x+1)$.
8. $x^{5}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $x^{12}\div x^{7}=x^{12-7}=x^{5}$.
9. $x<-3$ או $x>2$ — שורשים $x=-3,2$. פרבולה פתוחה למעלה, חיובית מחוץ לשורשים: $x<-3$ או $x>2$.
10. $x=3$ — כפל צולב: $2(x+1)=4(x-1)\Rightarrow2x+2=4x-4\Rightarrow x=3$ ($x\neq\pm1$).
11. $x=3,\ x=-2$ — כופלים ב-$2x$: $x^2-6=x\Rightarrow x^2-x-6=0\Rightarrow(x-3)(x+2)=0$, $x\neq0$.
12. פתרון יחיד — $\Delta=-4^2-4\cdot1\cdot(4)=0$. $\Delta=0$ ולכן פתרון יחיד.
13. $x=3$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 5: $125=5^{3}$. לכן $5^{x}=5^{3}$ ומכאן $x=3$.
14. $x=5$ — ערך מוחלט אינו שלילי, ולכן רק $x=5$ מקיים.
15. $-5<x<5$ — $|x|<5$ פירושו $-5<x<5$.
16. $a^{4}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $a^{7}\div a^{3}=a^{7-3}=a^{4}$.
17. $\sqrt[4]{x^{3}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $x^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{x^{3}}$.
18. $x=\frac{1}{3},\ x=-2$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=5^2-4\cdot3\cdot(-2)=49$. $x=\frac{-5\pm\sqrt{49}}{2\cdot3}$, כלומר $x=\frac{1}{3}$ או $x=-2$.
19. $6$ — כפל שורשים: $\sqrt{3}\cdot\sqrt{12}=\sqrt{3\cdot 12}=\sqrt{36}=6$.
20. $x\geq 6$ — $\frac{x}{2}\geq3\Rightarrow x\geq6$.
21. $x^2+6x+9$ — $(x+3)^2=x^2+2\cdot3x+9=x^2+6x+9$.
22. אין פתרונות ממשיים — $\Delta=2^2-4\cdot1\cdot(5)=-16$. $\Delta<0$ ולכן אין פתרונות ממשיים.
23. $a^{6}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $5+3-2=6$, לכן התוצאה $a^{6}$.
24. $x^{1}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $3+2-4=1$, לכן התוצאה $x^{1}$.
25. $b^{5}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $6+2-3=5$, לכן התוצאה $b^{5}$.
26. $\sqrt[3]{a^{4}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $a^{\frac{4}{3}}=\sqrt[3]{a^{4}}$.
27. $10\sqrt{2}$ — מפרקים את 200 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{200}=\sqrt{100\cdot 2}=10\sqrt{2}$.
28. $3$ — כפל שורשים: $\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{3\cdot 3}=\sqrt{9}=3$.
29. $1.8\times 10^{5}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $180000=1.8\times 10^{5}$.
30. $x^2-4x+4$ — $(x-2)^2=x^2-4x+4$.