חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $x+3$ — $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$, מצמצמים: $x+3$.
2. $y^{8}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(y^{4}\right)^{2}=y^{4\cdot 2}=y^{8}$.
3. $x=6,\ x=-10$ — $|x+2|=8$ נותן שני מקרים: $x+2=8$ או $x+2=-8$, ומכאן $x=6$ או $x=-10$.
4. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
5. $x=1$ — כופלים ב-$(x+1)$, $x\neq-1$: $10=5(x+1)\Rightarrow x+1=2\Rightarrow x=1$.
6. $\dfrac{1}{25}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $5^{-2}=\dfrac{1}{5^{2}}=\dfrac{1}{25}$.
7. $x=1,\ x=6$ — מפרקים לגורמים: $(x-(1))(x-(6))=0$, ולכן $x=1$ או $x=6$.
8. $10\sqrt{2}$ — מפרקים את 200 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{200}=\sqrt{100\cdot 2}=10\sqrt{2}$.
9. $(x-1)(x+1)$ — הפרש ריבועים: $x^2-1=(x-1)(x+1)$.
10. $x=1,\ x=\frac{-1}{3}$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=-2^2-4\cdot3\cdot(-1)=16$. $x=\frac{2\pm\sqrt{16}}{2\cdot3}$, כלומר $x=1$ או $x=\frac{-1}{3}$.
11. $x+2$ — $x^2-2x-8=(x-4)(x+2)$, מצמצמים: $x+2$.
12. $x=10,\ x=-8$ — $|x-1|=9$ נותן שני מקרים: $x-1=9$ או $x-1=-9$, ומכאן $x=10$ או $x=-8$.
13. $\dfrac{1}{x^{1}}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $x^{-1}=\dfrac{1}{x^{1}}$.
14. $x-2$ — $x^2-4=(x-2)(x+2)$, מצמצמים ב-$(x+2)$: $x-2$.
15. $2$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2$.
16. $x=6$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $64=2^{6}$. לכן $2^{x}=2^{6}$ ומכאן $x=6$.
17. שני פתרונות — $\Delta=-1^2-4\cdot1\cdot(-6)=25$. $\Delta>0$ ולכן שני פתרונות.
18. $x+4$ — $x^2-16=(x-4)(x+4)$, מצמצמים: $x+4$.
19. $x^{5}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $x^{12}\div x^{7}=x^{12-7}=x^{5}$.
20. $\sqrt[5]{m^{2}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $m^{\frac{2}{5}}=\sqrt[5]{m^{2}}$.
21. $x=7$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $128=2^{7}$. לכן $2^{x}=2^{7}$ ומכאן $x=7$.
22. $1<x<4$ — שורשים $x=1,4$. הביטוי שלילי בין השורשים: $1<x<4$.
23. $b^{5}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $6+2-3=5$, לכן התוצאה $b^{5}$.
24. $x=8,\ x=-2$ — $|x-3|=5$ נותן שני מקרים: $x-3=5$ או $x-3=-5$, ומכאן $x=8$ או $x=-2$.
25. $x=2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 3: $9=3^{2}$. לכן $3^{x}=3^{2}$ ומכאן $x=2$.
26. $x=1$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $2=2^{1}$. לכן $2^{x}=2^{1}$ ומכאן $x=1$.
27. אינסוף פתרונות — המשוואה השנייה כפולה של הראשונה — שתי המשוואות זהות, ולכן אינסוף פתרונות.
28. $\sqrt[2]{x^{1}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $x^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{x^{1}}$.
29. $m<16$ — $\Delta=64-4m>0\Rightarrow m<16$.
30. $x=3,\ y=1$ — חיבור: $3x=9\Rightarrow x=3$, ואז $y=1$.