חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $x^{6}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $x^{9}\div x^{3}=x^{9-3}=x^{6}$.
2. $x=2,\ x=6$ — מפרקים לגורמים: $(x-(2))(x-(6))=0$, ולכן $x=2$ או $x=6$.
3. $(x-1)(x+1)$ — הפרש ריבועים: $x^2-1=(x-1)(x+1)$.
4. $x=10,\ x=6$ — $|x-8|=2$ נותן שני מקרים: $x-8=2$ או $x-8=-2$, ומכאן $x=10$ או $x=6$.
5. $x=\frac{1}{3}$ — כופלים ב-$x$: $x+1=4x\Rightarrow1=3x\Rightarrow x=\frac{1}{3}$.
6. $x^{14}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(x^{2}\right)^{7}=x^{2\cdot 7}=x^{14}$.
7. $x>4$ או $x<-4$ — $|x|>4$ פירושו $x>4$ או $x<-4$.
8. $2$ — $2x+6=2(x+3)$, מצמצמים: $2$.
9. $10$ — כפל שורשים: $\sqrt{5}\cdot\sqrt{20}=\sqrt{5\cdot 20}=\sqrt{100}=10$.
10. $x=-2,\ x=5$ — מפרקים לגורמים: $(x-(-2))(x-(5))=0$, ולכן $x=-2$ או $x=5$.
11. $3\sqrt{7}$ — מפרקים את 63 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{63}=\sqrt{9\cdot 7}=3\sqrt{7}$.
12. $9.6\times 10^{3}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $9600=9.6\times 10^{3}$.
13. $x^{12}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(x^{6}\right)^{2}=x^{6\cdot 2}=x^{12}$.
14. $x\leq 3$ — $2x\leq6\Rightarrow x\leq3$.
15. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
16. $x=2,\ y=3$ — חיבור: $6x=12\Rightarrow x=2$, $y=3$.
17. $10$ — לפי וייטה, מכפלת השורשים $=\frac{c}{a}=10$.
18. $x=2,\ x=-5$ — מכפלה מתאפסת כשאחד הגורמים אפס: $x=2$ או $x=-5$.
19. $k^{3}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $k^{8}\div k^{5}=k^{8-5}=k^{3}$.
20. $b^{5}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $6+2-3=5$, לכן התוצאה $b^{5}$.
21. $5000$ — כתיב מדעי: $5\times 10^{3}=5000$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
22. $3$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\dfrac{45}{5}}=\sqrt{9}=3$.
23. $x=3$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 5: $125=5^{3}$. לכן $5^{x}=5^{3}$ ומכאן $x=3$.
24. $4$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{80}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\dfrac{80}{5}}=\sqrt{16}=4$.
25. $x=3,\ y=1$ — חיבור: $3x=9\Rightarrow x=3$, ואז $y=1$.
26. $x=2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 9: $81=9^{2}$. לכן $9^{x}=9^{2}$ ומכאן $x=2$.
27. $\dfrac{1}{x^{3}}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $x^{-3}=\dfrac{1}{x^{3}}$.
28. $\dfrac{1}{y^{2}}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $y^{-2}=\dfrac{1}{y^{2}}$.
29. $x=4,\ y=2$ — חיסור: $2x=8\Rightarrow x=4$, ואז $2y=4\Rightarrow y=2$.
30. $x=2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 4: $16=4^{2}$. לכן $4^{x}=4^{2}$ ומכאן $x=2$.